SS 2018: Mehrdimensionale Variationsrechnung (M4)

Vorlesung: Dienstag, 13:00 (ct), RUD 25, 3.007 und Donnerstag, 09:00 (ct), RUD 25, 3.007
Übung: Dienstag, 15.00 (ct), RUD 25, 3.007

Inhalt

In der Theorie der Variationsrechnung werden Funktionale betrachtet, die auf einer Menge von Funktionen definiert sind. Ziel ist es, kritische Punkte dieser Funktionale zu finden. Typische Anwendungen sind: Der Kreis maximiert den Flächeninhalt bei gegebenem Umfang. Die Seifenhaut minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen. Eine stabile elastische Verformung minimiert die elastische Verformungsenergie. Die Vorlesung führ t anhand der klassischen Theorie von Bernoulli bis Weierstrass (Funktionen einer Variablen) in die Fragestellungen ein. Mittels einfacher funktionalanalytischer Methoden wird die Theorie auf den mehrdimensionalen Fall bis hin zur nichtlinearen Elastostatik erweitert.

Voraussetzungen

  • Lineare Funktionalanalysis

Literatur

  • B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations
  • B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations

Übungsblätter

Prüfungstermine

Die mündlichen Prüfungen finden am 30.--31. Juli und 2.--3. August statt.

WS 2017/18: Optimal transport and Wasserstein gradient flows

Lecture: Tuesday, 9.00 am (ct), RUD 25, 4.007, weekly
Tutorial: Tuesday, 11.00 am (ct), RUD 25, 4.007, every 2nd week

Scope

The optimal transport problem was already formulated by Gaspard Monge in the 18 century. It deals with the relocation of an initial distribution of mass to a final distribution, such that the cost of transport is minimal. The formulation of this problem was generalized by Kantorovich in 1942. Besides the original applications in economy, new connections to Problems in geometry, probability theory, and analysis emerged. In particular, in the recent decades a strong connection between partial differential equations, that describe diffusion processes, could be made. These diffusion problems can be formulated as gradient flows of the system's entropy and the so-called Wasserstein distance.

In this module, we introduce the problem of optimal transport, discuss basic results and applications: Monge- and Kantorovich formulation, existence of optimal transport plans, dual formulation, dynamical formulation, diffusion equations as Wasserstein gradient flows.

Requirements

  • Linear functional analysis
  • Measure theory

References

  • Ambrosio, Gigli, Savaré, Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Lecture in Mathematics ETH Zürich, 2005
  • Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians: Calculus of Variations, PDEs, and Modeling, Birkhäuser, 2015

Ergänzungen

Charakterisierung von Wasserstein-Geodäten

Exercises

  1. Exercise 1 (for 24 Oct, 2017), corrected on 21 October, 2017
  2. Exercise 2 (for 7 Nov, 2017)
  3. Exercise 3 (for 28 Nov, 2017), corrected on 26 October, 2017
  4. Exercise 4 (for 22 Jan, 2018)
  5. Exercise 5 (for 6 Feb, 2018)