Bei der mathematischen Modellierung vieler Vorgänge und Phänomene in Natur und Technik werden Systeme mit vielen zufälligen Teilchen und Wechselwirkungen eingesetzt; siehe das Anwendungsthema Partikelbasierte Modellierung in den Naturwissenschaften. Hierbei sprechen wir von vielen unterschiedlichen Typen von solchen Systemen, die, je nach Anwendung, bewegte oder statische Teilchen beinhalten, Interaktionen mit einander oder mit einem umgebenden (evtl. zufälligen) Medium haben, anziehende oder abstoßende Interaktionen haben etc. Auch die mathematischen Fragen, die man an das System hat, sind sehr unterschiedlich, etwa nach einer sich ausprägenden Clusterstruktur, nach Regelmäßigkeiten innerhalb der Cluster, nach Eigenschaften wie Perkolation, Kristallisation und Kondensation, nach zeitlicher Entwicklung der Kontakte der Teilchen mit einander, nach Abhängigkeiten des globalen Verhaltens von Parametern bis hin zu Phasenübergängen und mehr.

In den meisten Modellen gibt es einen oder mehrere Ordnungsparameter, an Hand derer man das makroskopische Verhalten gut beschreiben kann, wie z.B. die durchschnittliche Größe eines Clusters, die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Partikel an einem gegebenen Ort zu einem gegebenen Zeitpunkt, das empirische Mittel aller Partikel etc. In manchen Fällen erfüllen diese Ordnungsparameter im betrachteten Grenzwert (meist große Anzahl oder große Zeiten) gewisse deterministische Gleichungen (etwa Differentialgleichungen), die anschließend mit analytischen oder numerischen Methoden studiert werden. In anderen Fällen werden Formeln für die freie Energie hergeleitet oder für Gesetze der großen Zahlen oder für Ergodensätze.

Zur Beantwortung dieser Fragen und Findung und Herleitung von Formeln werden am WIAS in der Regel mathematische Methoden eingesetzt sowie (wenn es diese noch nicht gibt) entwickelt. Dabei werden stochastische und analytische Methoden kombiniert und im besten Fall eine mathematische Lösung hergeleitet. Begleitende Simulationen geben dann eine Visualisierung und produzieren explizite Daten. Beispiele für eingesetzte Gebiete sind, je nach Modell, die Theorien der Gibbsmaße, der Perkolation, der stochastischen (partiellen) Differentialgleichungen, der Markovprozesse und der Großen Abweichungen auf der stochastischen Seite und die Theorien der schwachen Konvergenz, der Variationsrechnung, der konvexen Analysis und der partiellen Differentialgleichungen auf der analytischen Seite.

Beitrag des Instituts

Hier sind ein paar mathematische Errungenschaften des WIAS aus den letzten Jahren; siehe auch das Anwendungsthema Partikelbasierte Modellierung in den Naturwissenschaften.

Ein (statisches) interagierendes Vielkörpersystem ist gegeben, wenn eine große Anzahl von Punkten in einer großen Box zufällig verteilt wird, so dass sich die Teilchen nicht häufen und so dass eine gewisse Energie der Gesamtkonfiguration ein exponentielles Wahrscheinlichkeitsgewicht gibt, so dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Konfigurationen gegeben wird. Der Energieterm trägt einen Vorfaktor, der als der Kehrwert der Temperatur interpretiert wird. In der FG5 wurde der thermodynamische Grenzwert bei tiefen Temperaturen in besonders großen Boxen studiert, so dass die Entropie (die Anteil der Wahrscheinlichkeit, der von der räumlichen Struktur der Partikelwolke herrührt) mit der Energie eine besondere Relation eingeht, so dass dieser Grenzwert mit Hilfe genau eines Parameters studiert werden kann. Interessante Phasenübergänge konnten erhalten werden. Für die Zukunft soll allerdings der übliche thermodynamische Grenzwert bei festem Verhältnis der Boxgröße zur Partikelzahl studiert werden. Für ein System, in dem jedem Teilchen eine kinetische Energie hinzugefügt wird und die Partikel einer gewissen Symmetrie unterworfen werden (charakteristisch für die Beschreibung von Bosonen), wurde ein Ansatz mit großen Abweichungen für gemittelte Verschiebungen des gesamten Partikelsystems entwickelt und dazu eingesetzt, die freie Energie des Systems in einer Variationsformel zu fassen. Damit konnte allerdings der ersehnte Effekt einer Kondensation nicht bewiesen werden, was Gegenstand weiterer Untersuchungen sein wird.

In der Telekommunikation werden die Aufenthaltsorte vieler Nutzer als die Punkte eines räumlichen Poissonprozesses modelliert, siehe das Anwendungsthema Mobile Kommunikationsnetzwerke. Je zwei von diesen Punkten interagieren, wenn ihr Abstand klein genug ist. Sutdiert wurde dir Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit Nachrichten, die über ein Relaissystem durch das System geschickt werden, auch wirklich ihr Ziel ereichen, d.h. eine globale Konnektivitätseigenschaft des Systems.


Jeder Punkt liegt in der Mitte eines Kreises, und Punkte kommunizieren, falls sich ihre Kreise überlappen. Eine sehr große, durchgehend verbundene Komponente wird in Grün dargestellt, dort ist die globale Konnektivität gegeben, kleinere, isolierte Teile des Netzes sind blau.

Die Konnektivitätseigenschaft wurde im Grenzwert hoher Dichten von Nutzern pro Volumen betrachtet, in welchem die betrachteten Wahrscheinlichkeiten exponentiell abfallen. Mit Hilfe der Theorie der großen Abweichungen für hochdichte Punktprozesse wurde die Abfallrate in Termen einer Entropie ausgedrückt. Anschließend wurden diejenigen Konfigurationen untersucht, die diese Entropie minimieren, denn diese haben die Interpretation der (zufälligen) Situationen, in denen die Konnektivität noch am besten ist unter den gegebenen Annahmen. Ähnliche Untersuchungen wurden für Interferenz- und Kapazitätseigenschaften gemacht. Weitergehende Untersuchungen betreffen derzeit die optimale Wahl der Trajektorien der Nachrichten bei Beachtung von Interferenz und bei Vermeidung von Überlastungen der Relais sowie die Implementierung realistischer Bewegungsmodelle für die Nutzer.

Bei dynamischen Modellen ist die Etablierung von hydrodynamischen Limes eine wichtige Aufgabe. Solche Limes werden zunächst bewiesen in konkreten Anwendungsfälle um Evolutions-Gleichungen für makroskopischen Eigenschaften des Models zu finden. Siehe die anwendungsorientierten Themen Koagulation sowie Partikelbasierte Modellierung in den Naturwissenschaften. Ein wesentlicher Teil derartigen Beweise ist die Kompaktheit in Verteilung von den Markov Prozessen, die das Model bilden. In einigen Arbeiten sind Eigenschaften der anwendungsbezogenen Probleme abstrahiert worden und die Ergebnisse erweitert, damit sie in weiteren Fällen zur Anwendung kommen können.

In der Biologie ist die Definition von geeigneten stochastischen Partikelmodellen noch lange nicht abgeschlossen, die Modellierung ist in stetem Fluss. Etablierte Modelle für Populationen und deren Bewegungen sind zum Beispiel räumliche Verzweigungsprozesse mit zufälliger Bewegung, die am WIAS in zufälliger Umgebung betrachtet werden; siehe das Mathematische Thema Spektraltheorie zufälliger Operatoren.


Publikationen

  Artikel in Referierten Journalen

  • L. Andreis, A. Asselah, P. Dai Pra , Ergodicity of a system of interacting random walks with asymmetric interaction, Annales de l'Institut Henri Poincare. Probabilites et Statistiques, 55 (2019), pp. 590--606.
    Abstract
    We study N interacting random walks on the positive integers. Each particle has drift delta towards infinity, a reflection at the origin, and a drift towards particles with lower positions. This inhomogeneous mean field system is shown to be ergodic only when the interaction is strong enough. We focus on this latter regime, and point out the effect of piles of particles, a phenomenon absent in models of interacting diffusion in continuous space.

  • L. Andreis, P. Dai Pra, M. Fischer, McKean--Vlasov limit for interacting systems with simultaneous jumps, Stochastic Analysis and Applications, 36 (2018), pp. 960--995, DOI 10.1080/07362994.2018.1486202 .
    Abstract
    Motivated by several applications, including neuronal models, we consider the McKean-Vlasov limit for mean-field systems of interacting diffusions with simultaneous jumps. We prove propagation of chaos via a coupling technique that involves an intermediate process and that gives a rate of convergence for the W1 Wasserstein distance between the empirical measures of the two systems on the space of trajectories D([0,T],R^d).

  • O. Gün, A. Yilmaz, The stochastic encounter-mating model, Acta Applicandae Mathematicae. An International Survey Journal on Applying Mathematics and Mathematical Applications, 148 (2017), pp. 71--102.

  • A. Mielke, R.I.A. Patterson, M.A. Peletier, D.R.M. Renger, Non-equilibrium thermodynamical principles for chemical reactions with mass-action kinetics, SIAM Journal on Applied Mathematics, 77 (2017), pp. 1562--1585, DOI 10.1137/16M1102240 .
    Abstract
    We study stochastic interacting particle systems that model chemical reaction networks on the micro scale, converging to the macroscopic Reaction Rate Equation. One abstraction level higher, we study the ensemble of such particle systems, converging to the corresponding Liouville transport equation. For both systems, we calculate the corresponding large deviations and show that under the condition of detailed balance, the large deviations induce a non-linear relation between thermodynamic fluxes and free energy driving force.

  • R.I.A. Patterson, S. Simonella, W. Wagner, A kinetic equation for the distribution of interaction clusters in rarefied gases, Journal of Statistical Physics, 169 (2017), pp. 126--167.

  • J. Blath, A. González Casanova Soberón, B. Eldon, N. Kurt, M. Wilke-Berenguer, Genetic variability under the seedbank coalescent, Genetics, 200 (2015), pp. 921--934.
    Abstract
    We analyze patterns of genetic variability of populations in the presence of a large seedbank with the help of a new coalescent structure called the seedbank coalescent. This ancestral process appears naturally as a scaling limit of the genealogy of large populations that sustain seedbanks, if the seedbank size and individual dormancy times are of the same order as those of the active population. Mutations appear as Poisson processes on the active lineages and potentially at reduced rate also on the dormant lineages. The presence of "dormant" lineages leads to qualitatively altered times to the most recent common ancestor and nonclassical patterns of genetic diversity. To illustrate this we provide a Wright-Fisher model with a seedbank component and mutation, motivated from recent models of microbial dormancy, whose genealogy can be described by the seedbank coalescent. Based on our coalescent model, we derive recursions for the expectation and variance of the time to most recent common ancestor, number of segregating sites, pairwise differences, and singletons. Estimates (obtained by simulations) of the distributions of commonly employed distance statistics, in the presence and absence of a seedbank, are compared. The effect of a seedbank on the expected site-frequency spectrum is also investigated using simulations. Our results indicate that the presence of a large seedbank considerably alters the distribution of some distance statistics, as well as the site-frequency spectrum. Thus, one should be able to detect from genetic data the presence of a large seedbank in natural populations.

  Preprints, Reports, Technical Reports

  • A. Mielke, A. Stephan, Coarse-graining via EDP-convergence for linear fast-slow reaction systems, Preprint no. 2643, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2643 .
    Abstract, PDF (426 kByte)
    We consider linear reaction systems with slow and fast reactions, which can be interpreted as master equations or Kolmogorov forward equations for Markov processes on a finite state space. We investigate their limit behavior if the fast reaction rates tend to infinity, which leads to a coarse-grained model where the fast reactions create microscopically equilibrated clusters, while the exchange mass between the clusters occurs on the slow time scale. Assuming detailed balance the reaction system can be written as a gradient flow with respect to the relative entropy. Focusing on the physically relevant cosh-type gradient structure we show how an effective limit gradient structure can be rigorously derived and that the coarse-grained equation again has a cosh-type gradient structure. We obtain the strongest version of convergence in the sense of the Energy-Dissipation Principle (EDP), namely EDP-convergence with tilting.

  • A. Hinsen, B. Jahnel, E. Cali, J.-P. Wary, Phase transitions for chase-escape models on Gilbert graphs, Preprint no. 2642, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2642 .
    Abstract, PDF (219 kByte)
    We present results on phase transitions of local and global survival in a two-species model on Gilbert graphs. At initial time there is an infection at the origin that propagates on the Gilbert graph according to a continuous-time nearest-neighbor interacting particle system. The Gilbert graph consists of susceptible nodes and nodes of a second type, which we call white knights. The infection can spread on susceptible nodes without restriction. If the infection reaches a white knight, this white knight starts to spread on the set of infected nodes according to the same mechanism, with a potentially different rate, giving rise to a competition of chase and escape. We show well-definedness of the model, isolate regimes of global survival and extinction of the infection and present estimates on local survival. The proofs rest on comparisons to the process on trees, percolation arguments and finite-degree approximations of the underlying random graphs.

  • D. Heydecker, R.I.A. Patterson, Bilinear coagulation equations, Preprint no. 2637, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2637 .
    Abstract, PDF (453 kByte)
    We consider coagulation equations of Smoluchowski or Flory type where the total merge rate has a bilinear form π(y) · Aπ (x) for a vector of conserved quantities π, generalising the multiplicative kernel. For these kernels, a gelation transition occurs at a finite time tg ∈ (0,∞), which can be given exactly in terms of an eigenvalue problem in finite dimensions. We prove a hydrodynamic limit for a stochastic coagulant, including a corresponding phase transition for the largest particle, and exploit a coupling to random graphs to extend analysis of the limiting process beyond the gelation time.

  • CH. Hirsch, B. Jahnel, A. Tóbiás, Lower large deviations for geometric functionals, Preprint no. 2632, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2632 .
    Abstract, PDF (1268 kByte)
    This work develops a methodology for analyzing large-deviation lower tails associated with geometric functionals computed on a homogeneous Poisson point process. The technique applies to characteristics expressed in terms of stabilizing score functions exhibiting suitable monotonicity properties. We apply our results to clique counts in the random geometric graph, intrinsic volumes of Poisson--Voronoi cells, as well as power-weighted edge lengths in the random geometric, κ-nearest neighbor and relative neighborhood graph.

  • A. Stephan, Combinatorial considerations on the invariant measure of a stochastic matrix, Preprint no. 2627, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2627 .
    Abstract, PDF (225 kByte)
    The invariant measure is a fundamental object in the theory of Markov processes. In finite dimensions a Markov process is defined by transition rates of the corresponding stochastic matrix. The Markov tree theorem provides an explicit representation of the invariant measure of a stochastic matrix. In this note, we given a simple and purely combinatorial proof of the Markov tree theorem. In the symmetric case of detailed balance, the statement and the proof simplifies even more.

  • A. Tóbiás, B. Jahnel, Exponential moments for planar tessellations, Preprint no. 2572, WIAS, Berlin, 2019, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2572 .
    Abstract, PDF (276 kByte)
    In this paper we show existence of all exponential moments for the total edge length in a unit disc for a family of planar tessellations based on Poisson point processes. Apart from classical such tessellations like the Poisson--Voronoi, Poisson--Delaunay and Poisson line tessellation, we also treat the Johnson--Mehl tessellation, Manhattan grids, nested versions and Palm versions. As part of our proofs, for some planar tessellations, we also derive existence of exponential moments for the number of cells and the number of edges intersecting the unit disk.

  • M. Mittnenzweig, Hydrodynamic limit and large deviations of reaction-diffusion master equations, Preprint no. 2521, WIAS, Berlin, 2018, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2521 .
    Abstract, PDF (389 kByte)
    We derive the hydrodynamic limit of a reaction-diffusion master equation, that combines an exclusion process with a reversible chemical master equation expression for the reaction rates. The crucial assumption is that the associated macroscopic reaction network has a detailed balance equilibrium. The hydrodynamic limit is given by a system of reaction-diffusion equations with a modified mass action law for the reaction rates. We provide the upper bound for large deviations of the empirical measure from the hydrodynamic limit.

  • P. Dupuis, V. Laschos, K. Ramanan, Exit time risk-sensitive stochastic control problems related to systems of cooperative agents, Preprint no. 2407, WIAS, Berlin, 2017, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2407 .
    Abstract, PDF (447 kByte)
    We study sequences, parametrized by the number of agents, of exit time stochastic control problems with risk-sensitive costs structures generate by unbounded costs. We identify a fully characterizing assumption, under which, each of them corresponds to a risk-neutral stochastic control problem with additive cost, and also to a risk-neutral stochastic control problem on the simplex, where the specific information about the state of each agent can be discarded. We finally prove that, under some additional assumptions, the sequence of value functions converges to the value function of a deterministic control problem.

  Vorträge, Poster

  • A. Stephan, Rigorous derivation of the effective equation of a linear reaction system with different time scales, 90th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2019), Section S14 ``Applied Analysis'', February 18 - 22, 2019, Universität Wien, Technische Universität Wien, Austria, February 21, 2019.

  • M. Maurelli, McKean--Vlasov SDEs with irregular drift: Large deviations for particle approximation, University of Oxford, Mathematical Institute, UK, March 5, 2018.

  • M. Maurelli , A McKean--Vlasov SDE with reflecting boundaries, CASA Colloquium, Eindhoven University of Technology, Department of Mathematics and Computer Science, Netherlands, January 10, 2018.

  • L. Andreis, A large-deviations approach to the multiplicative coagulation process, Probability Seminar, Università degli Studi di Padova, Dipartimento di Matematica ``Tullio Levi--Civita'', Italy, October 12, 2018.

  • L. Andreis, A large-deviations approach to the multiplicative coagulation process, Seminar ''Theory of Complex Systems and Neurophysics --- Theory of Statistical Physics and Nonlinear Dynamics``, Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Physik, October 30, 2018.

  • L. Andreis, Ergodicity of a system of interacting random walks with asymmetric interaction, 13th German Probability and Statistics Days 2018 -- Freiburger Stochastik-Tage, February 27 - March 2, 2018, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, Abteilung für Mathematische Stochastik, Freiburg, February 1, 2018.

  • L. Andreis, Networks of interacting components with macroscopic self-sustained periodic behavior, Neural Coding 2018, September 9 - 14, 2018, University of Torino, Department of Mathematics, Italy, September 10, 2018.

  • L. Andreis, Self-sustained periodic behavior in interacting systems, Random Structures in Neuroscience and Biology, March 26 - 29, 2018, Ludwig--Maximilians Universität München, Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik, Herrsching, March 26, 2018.

  • L. Andreis, System of interacting random walks with asymmetric interaction, 48th Probability Summer School, July 8 - 20, 2018, Clermont Auvergne University, Saint Flour, France, July 17, 2018.

  • W. Dreyer, Thermodynamics and kinetic theory of non-Newtonian fluids, Technische Universität Darmstadt, Mathematische Modellierung und Analysis, June 13, 2018.

  • W. Dreyer, J. Fuhrmann, P. Gajewski, C. Guhlke, M. Landstorfer, M. Maurelli, R. Müller, Stochastic model for LiFePO4-electrodes, ModVal14 -- 14th Symposium on Fuel Cell and Battery Modeling and Experimental Validation, Karlsruhe, March 2 - 3, 2017.

  • D.R.M. Renger, From large deviations to Wasserstein gradient flows in multiple dimensions, Workshop on Gradient Flows, Large Deviations and Applications, November 22 - 29, 2015, EURANDOM, Mathematics and Computer Science Department, Eindhoven, Netherlands, November 23, 2015.

  • D.R.M. Renger, The inverse problem: From gradient flows to large deviations, Workshop ``Analytic Approaches to Scaling Limits for Random System'', January 26 - 30, 2015, Universität Bonn, Hausdorff Research Institute for Mathematics, January 26, 2015.

  Preprints im Fremdverlag

  • A. González Casanova Soberón, J.C. Pardo, J.L. Perez, Branching processes with interactions: The subcritical cooperative regime, Preprint no. arXiv:1704.04203, Cornell University Library, arXiv.org, 2017.
    Abstract
    In this paper, we introduce a particular family of processes with values on the nonnegative integers that model the dynamics of populations where individuals are allow to have different types of inter- actions. The types of interactions that we consider include pairwise: competition, annihilation and cooperation; and interaction among several individuals that can be consider as catastrophes. We call such families of processes branching processes with interactions. In particular, we prove that a process in this class has a moment dual which turns out to be a jump-diffusion that can be thought as the evolution of the frequency of a trait or phenotype. The aim of this paper is to study the long term behaviour of branching processes with interac- tions under the assumption that the cooperation parameter satisfies a given condition that we called subcritical cooperative regime. The moment duality property is useful for our purposes.

  • J. Blath, E. Buzzoni, A. Casanova Soberón, M.W. Berenguer, The seed bank diffusion, and its relation to the two-island model, Preprint no. arXiv:1710.08164, Cornell University Library, arXiv.org, 2017.
    Abstract
    In this paper, we introduce a particular family of processes with values on the nonnegative integers that model the dynamics of populations where individuals are allow to have different types of inter- actions. The types of interactions that we consider include pairwise: competition, annihilation and cooperation; and interaction among several individuals that can be consider as catastrophes. We call such families of processes branching processes with interactions. In particular, we prove that a process in this class has a moment dual which turns out to be a jump-diffusion that can be thought as the evolution of the frequency of a trait or phenotype. The aim of this paper is to study the long term behaviour of branching processes with interac- tions under the assumption that the cooperation parameter satisfies a given condition that we called subcritical cooperative regime. The moment duality property is useful for our purposes.

  • K.F. Lee, M. Dosta, A.D. Mcguire, S. Mosbach, W. Wagner, S. Heinrich, M. Kraft, Development of a multi-compartment population balance model for high-shear wet granulation with Discrete Element Method, Technical report no. 170, c4e-Preprint Series, 2016.
    Abstract
    This paper presents a multi-compartment population balance model for wet granulation coupled with DEM (Discrete Element Method) simulations. Methodologies are developed to extract relevant data from the DEM simulations to inform the population balance model. First, compartmental residence times are calculated for the population balance model from DEM. Then, a suitable collision kernel is chosen for the population balance model based on particle-particle collision frequencies extracted from DEM. It is found t hat the population balance model is able to predict the trends exhibited by the experimental size and porosity distributions by utilising the information provided by the DEM simulations.