Seit über hundert Jahren ist die Modellierung mit Hilfe von vielen zufälligen Partikeln eine übliche Herangehensweise an das Studium von Vorgängen und Phänomenen in den Naturwissenschaften. Seit dem 19. Jahrhundert haben sich Naturwissenschaftler an die Idee gewöhnt, dass Dinge wie Flüssigkeiten, Gase, Licht und [feste] Materialien sich vorgestellt werden können als eine riesige Anzahl von Teilchen, die mit einander wechselwirken. Daher wurden und werden immer mehr Modelle aufgestellt und mathematisch analysiert, die auf mikroskopischer Ebene durch eine große Anzahl von Teilchen und einer Formulierung der Regeln der Wechselwirkungen zwischen ihnen definiert werden. Dabei wird oft ein stochastischer Ansatz gemacht, d.h. die Teilchen unterliegen stochastischen Regeln betreffs ihrer Aufenthaltsorte bzw. ihrer Bewegungen. Weitere Zutaten in den Modellen können zufällige Umgebungen sein oder auch Stochastizität in den Interaktionen. Wir unterscheiden dynamische Modelle, in denen die Teilchen sich zufällig bewegen, und statische Modelle, in denen sie sich nicht bewegen.

Die Aufgabe ist dann, das makroskopische Verhalten der Gesamtheit zu finden, mathematisch zu erklären und ggf. mit experimentellen Daten in Einklang zu bringen. In vielen Fällen besteht die Aufgabe darin, Methoden zu finden oder anwendbar zu machen für die Beschreibung der wichtigen Ordnungsparameter und für den Beweis entscheidender Eigenschaften von ihnen. Ein typisches Beispiel für einen wichtigen Ordnungsparameter ist der empirische Durchschnitt der Partikel, der oft (nach evtl. einer geeigneten Mittelung) zusammenfassend approximativ beschrieben werden kann durch eine einzige Gleichung, die in den meisten Fällen eine Differentialgleichung ist. Dies wird oft im sogenannten thermodynamischen Grenzwert gemacht, wo sehr viele Partikel in einer großen Box betrachtet werden, aber die Anzahl der Partikel pro Einheitsvolumen festgehalten wird, oder im hydrodynamischen Grenzwert, wo ebenfalls viele Partikel betrachtet werden, aber die Box nicht groß wird. Auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Partikel nach Bildung des Durchschnitts können interessante Gleichungen erfüllen. Manche solcher Gleichungen wurden schon lange studiert, bevor sie aus Partikelmodellen hergeleitet wurden.

Gerade in der Physik und Chemie haben sich einige Modellansätze durchgesetzt als extrem guter Kompromiss zwischen Realitätsnähe und Handhabbarkeit. Statische, atomistische Vielkörpersysteme zum Beispiel werden oft durch eine Energiefunktion beschrieben, die jeder Konfiguration aufgrund ihrer Wechselwirkungen eine Energie zuordnet und damit ein Wahrscheinlichkeitsgewicht, das gleich dem negativen Exponential der Energie ist. Solche Maße heißen Gibbsmaße; sie bevorzugen Konfigurationen mit geringer Energie. Ein Beispiel ist ein Salzkristall, das aus geladenen Teilchen (Ionen) besteht, die ihre gesamte elektrostatische Potentialenergie minimieren wollen. Andere Systeme, insbesondere wenn sie bei positiver Temperatur betrachtet werden, enthalten Irrfahrten bzw. Brown'sche Bewegungen, die miteinander reagieren (z.B. koagulieren), wenn sie sich nahe kommen (siehe das Anwendungsthema Koagulation). Hierbei wird z.B. die Formierung von Rußteilchen in Flammen modelliert. Eine andere Klasse von stochastischen Partikelmodellen sind Familien von interagierenden stochastischen (partiellen) Differentialgleichungen, wie sie etwa seit kurzem in der Modellierung von Ladungsvorgängen in Batterien eingesetzt werden (siehe das Anwendungsthema Thermodynamische Modelle für elektrochemische Prozesse).

Beitrag des Instituts

Atomistische statische Modelle für interagierende Vielkörpersysteme werden mit Hilfe einer Paarenergie mit Lennard-Jones-Potential beschrieben, in denen die Teilchen sich nicht häufen, sondern jeweils einen gewissen positiven Abstand zu einander einnehmen wollen. Ein anderes Beispiel ist das Bose-Gas, in denen jedes Partikel zusätzlich noch eine kinetische Energie besitzt. Die Fragen betreffen im ersten Modell die Bildung von Clustern sowie Kristallisierungsphänomene und im zweiten Fall Kondensationsphänomene, siehe das Mathematische Thema Große Abweichungen.

Krystallstruktur neben unstrukturierten Klumpen
Eine Realisierung eines Vielkörpersystems, das unten rechts ein kleines Kristall vorweist.

Modelle mit vielen zufälligen Partikeln werden auch in der Technik in der Beschreibung von großen drahtlosen Telekommunikationssystemen eingesetzt; die Partikel sind hier die Geräte der Benutzer. Wenn keine Bewegung der Benutzer betrachtet wird, modellieren wir die Aufenthaltsorte der Geräte mit Poisson'schen Punktprozessen, aber für sich bewegende Benutzer ist derzeit noch nicht klar, welche Bewegungsmodelle für welche Situationen eingesetzt werden sollten. Interaktionen zwischen den Partikeln kommen von ihrem räumlichen Abstand, denn nur wenn der klein genug ist, kann eine Nachricht übertragen werden; siehe das Anwendungsthema Mobile Kommunikationsnetzwerke. In diesem Bereich werden Methoden aus der Theorie der Großen Abweichungen (siehe das Mathematische Thema Große Abweichungen) zur Analyse der Standorte von den Geräten eingesetzt. Durch die Minimierung einer Entropie unter Nebenbedingungen charakterisieren wir auch die wichtigsten Teilchenkonfigurationen, in denen keine effektive Netzwerkbildung möglich ist.

Für dynamische Modelle sind am WIAS eine ganze Reihe von hydrodynamischen Grenzresultaten etabliert (siehe das Anwendungsthema Koagulation), die elastisch kollidierende Gasmoleküle betreffen sowie die Bildung von Ruß und chemische Reaktionen. Sie führen auf kinetische Gleichungen (siehe das Mathemathetische Thema Nichtlineare kinetische Gleichung). Darüber hinaus wurde für eine Verallgemeinerung des Modells ein dynamisches Prinzip der Großen Abweichungen hergeleitet. Ferner wurde durch weitere analytische Methoden eine entropie-ähnlichen freie Energie und deren Dissipationspotenziale identifiziert, die zusammen eine Gradienten-Struktur bilden, wodurch eine ausführlichere Beschreibung der Dynamik und der Wirkung von Störungen möglich wird.

In der Biologie ist die Definition von geeigneten stochastischen Partikelmodellen noch lange nicht abgeschlossen, die Modellierung ist in stetem Fluss. Etablierte Modelle für Populationen und deren Bewegungen sind zum Beispiel räumliche Verzweigungsprozesse mit zufälliger Bewegung, die am WIAS in zufälliger Umgebung betrachtet werden; siehe das Mathematische Thema Spektraltheorie zufälliger Operatoren. Weitere Modelle aus der Biologie werden im Anwendungsgebiet Stochastische biologische Evolution beschrieben.


Publikationen

  Monografien

  • P. Exner, W. König, H. Neidhardt, eds., Mathematical Results in Quantum Mechanics. Proceedings of the QMath12 Conference, World Scientific Publishing, Singapore, 2015, xii+383 pages, (Collection Published).

  Artikel in Referierten Journalen

  • A. Stephan, H. Stephan, Memory equations as reduced Markov processes, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 39 (2019), pp. 2133--2155, DOI 10.3934/dcds.2019089 .
    Abstract
    A large class of linear memory differential equations in one dimension, where the evolution depends on the whole history, can be equivalently described as a projection of a Markov process living in a higher dimensional space. Starting with such a memory equation, we give an explicit construction of the corresponding Markov process. From a physical point of view the Markov process can be understood as the change of the type of some quasiparticles along one-way loops. Typically, the arising Markov process does not have the detailed balance property. The method leads to a more realisitc modeling of memory equations. Moreover, it carries over the large number of investigation tools for Markov processes to memory equations, like the calculation of the equilibrium state, the asymptotic behavior and so on. The method can be used for an approximative solution of some degenerate memory equations like delay differential equations.

  • C. Cotar, B. Jahnel, Ch. Külske, Extremal decomposition for random Gibbs measures: From general metastates to metastates on extremal random Gibbs measures, Electronic Communications in Probability, 23 (2018), pp. 1--12, DOI 10.1214/18-ECP200 .
    Abstract
    The concept of metastate measures on the states of a random spin system was introduced to be able to treat the large-volume asymptotics for complex quenched random systems, like spin glasses, which may exhibit chaotic volume dependence in the strong-coupling regime. We consider the general issue of the extremal decomposition for Gibbsian specifications which depend measurably on a parameter that may describe a whole random environment in the infinite volume. Given a random Gibbs measure, as a measurable map from the environment space, we prove measurability of its decomposition measure on pure states at fixed environment, with respect to the environment. As a general corollary we obtain that, for any metastate, there is an associated decomposition metastate, which is supported on the extremes for almost all environments, and which has the same barycenter.

  • G. Botirov, B. Jahnel, Phase transitions for a model with uncountable spin space on the Cayley tree: The general case, Positivity. An International Mathematics Journal Devoted to Theory and Applications of Positivity, 23 (2019), pp. 291--301 (published online on 17.08.2018), DOI 10.1007/s11117-018-0606-1 .
    Abstract
    In this paper we complete the analysis of a statistical mechanics model on Cayley trees of any degree, started in [EsHaRo12, EsRo10, BoEsRo13, JaKuBo14, Bo17]. The potential is of nearest-neighbor type and the local state space is compact but uncountable. Based on the system parameters we prove existence of a critical value θ c such that for θ≤θ c there is a unique translation-invariant splitting Gibbs measure. For θ c < θ there is a phase transition with exactly three translation-invariant splitting Gibbs measures. The proof rests on an analysis of fixed points of an associated non-linear Hammerstein integral operator for the boundary laws.

  • W. Wagner, A random walk model for the Schrödinger equation, Mathematics and Computers in Simulation, 143 (2018), pp. 138--148, DOI 10.1016/j.matcom.2016.07.012 .
    Abstract
    A random walk model for the spatially discretized time-dependent Schrödinger equation is constructed. The model consists of a class of piecewise deterministic Markov processes. The states of the processes are characterized by a position and a complex-valued weight. Jumps occur both on the spatial grid and in the space of weights. Between the jumps, the weights change according to deterministic rules. The main result is that certain functionals of the processes satisfy the Schrödinger equation.

  • A. Mielke, R.I.A. Patterson, M.A. Peletier, D.R.M. Renger, Non-equilibrium thermodynamical principles for chemical reactions with mass-action kinetics, SIAM Journal on Applied Mathematics, 77 (2017), pp. 1562--1585, DOI 10.1137/16M1102240 .
    Abstract
    We study stochastic interacting particle systems that model chemical reaction networks on the micro scale, converging to the macroscopic Reaction Rate Equation. One abstraction level higher, we study the ensemble of such particle systems, converging to the corresponding Liouville transport equation. For both systems, we calculate the corresponding large deviations and show that under the condition of detailed balance, the large deviations induce a non-linear relation between thermodynamic fluxes and free energy driving force.

  • R.I.A. Patterson, S. Simonella, W. Wagner, A kinetic equation for the distribution of interaction clusters in rarefied gases, Journal of Statistical Physics, 169 (2017), pp. 126--167.

  • M. Erbar, M. Fathi, V. Laschos, A. Schlichting, Gradient flow structure for McKean--Vlasov equations on discrete spaces, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 36 (2016), pp. 6799--6833.
    Abstract
    In this work, we show that a family of non-linear mean-field equations on discrete spaces, can be viewed as a gradient flow of a natural free energy functional with respect to a certain metric structure we make explicit. We also prove that this gradient flow structure arises as the limit of the gradient flow structures of a natural sequence of N-particle dynamics, as N goes to infinity

  • S. Jansen, W. König, B. Metzger, Large deviations for cluster size distributions in a continuous classical many-body system, The Annals of Applied Probability, 25 (2015), pp. 930--973.
    Abstract
    An interesting problem in statistical physics is the condensation of classical particles in droplets or clusters when the pair-interaction is given by a stable Lennard-Jones-type potential. We study two aspects of this problem. We start by deriving a large deviations principle for the cluster size distribution for any inverse temperature $betain(0,infty)$ and particle density $rhoin(0,rho_rmcp)$ in the thermodynamic limit. Here $rho_rmcp >0$ is the close packing density. While in general the rate function is an abstract object, our second main result is the $Gamma$-convergence of the rate function towards an explicit limiting rate function in the low-temperature dilute limit $betatoinfty$, $rho downarrow 0$ such that $-beta^-1logrhoto nu$ for some $nuin(0,infty)$. The limiting rate function and its minimisers appeared in recent work, where the temperature and the particle density were coupled with the particle number. In the de-coupled limit considered here, we prove that just one cluster size is dominant, depending on the parameter $nu$. Under additional assumptions on the potential, the $Gamma$-convergence along curves can be strengthened to uniform bounds, valid in a low-temperature, low-density rectangle.

  • M. Erbar, J. Maas, D.R.M. Renger, From large deviations to Wasserstein gradient flows in multiple dimensions, Electronic Communications in Probability, 20 (2015), pp. 1--12.
    Abstract
    We study the large deviation rate functional for the empirical distribution of independent Brownian particles with drift. In one dimension, it has been shown by Adams, Dirr, Peletier and Zimmer [ADPZ11] that this functional is asymptotically equivalent (in the sense of Gamma-convergence) to the Jordan-Kinderlehrer-Otto functional arising in the Wasserstein gradient flow structure of the Fokker-Planck equation. In higher dimensions, part of this statement (the lower bound) has been recently proved by Duong, Laschos and Renger, but the upper bound remained open, since the proof in [DLR13] relies on regularity properties of optimal transport maps that are restricted to one dimension. In this note we present a new proof of the upper bound, thereby generalising the result of [ADPZ11] to arbitrary dimensions.

  • M. Muminov, H. Neidhardt, T. Rasulov, On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case, Journal of Mathematical Physics, 56 (2015), pp. 053507/1--053507/24.
    Abstract
    A lattice model of radiative decay (so-called spin-boson model) of a two level atom and at most two photons is considered. The location of the essential spectrum is described. For any coupling constant the finiteness of the number of eigenvalues below the bottom of its essential spectrum is proved. The results are obtained by considering a more general model H for which the lower bound of its essential spectrum is estimated. Conditions which guarantee the finiteness of the number of eigenvalues of H below the bottom of its essential spectrum are found. It is shown that the discrete spectrum might be infinite if the parameter functions are chosen in a special form.

  • S. Simonella, M. Pulvirenti, On the evolution of the empirical measure for hard-sphere dynamics, Bulletin of the Institute of Mathematics. Academia Sinica. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan. English. English summary., 10 (2015), pp. 171--204.

  • A. Mielke, M.A. Peletier, D.R.M. Renger, On the relation between gradient flows and the large-deviation principle, with applications to Markov chains and diffusion, Potential Analysis, 41 (2014), pp. 1293--1325.
    Abstract
    Motivated by the occurence in rate functions of time-dependent large-deviation principles, we study a class of non-negative functions ℒ that induce a flow, given by ℒ(zt,żt)=0. We derive necessary and sufficient conditions for the unique existence of a generalized gradient structure for the induced flow, as well as explicit formulas for the corresponding driving entropy and dissipation functional. In particular, we show how these conditions can be given a probabilistic interpretation when ℒ is associated to the large deviations of a microscopic particle system. Finally, we illustrate the theory for independent Brownian particles with drift, which leads to the entropy-Wasserstein gradient structure, and for independent Markovian particles on a finite state space, which leads to a previously unknown gradient structure.

  • M.H. Duong, V. Laschos, M. Renger, Wasserstein gradient flows from large deviations of many-particle limits, ESAIM. Control, Optimisation and Calculus of Variations, 19 (2013), pp. 1166--1188.

  • M.A. Peletier, M. Renger, M. Veneroni, Variational formulation of the Fokker--Planck equation with decay: A particle approach, Communications in Contemporary Mathematics, 15 (2013), pp. 1350017/1--1350017/43.

  • S. Adams, A. Collevecchio, W. König, A variational formula for the free energy of an interacting many-particle system, The Annals of Probability, 39 (2011), pp. 683--728.
    Abstract
    We consider $N$ bosons in a box in $R^d$ with volume $N/rho$ under the influence of a mutually repellent pair potential. The particle density $rhoin(0,infty)$ is kept fixed. Our main result is the identification of the limiting free energy, $f(beta,rho)$, at positive temperature $1/beta$, in terms of an explicit variational formula, for any fixed $rho$ if $beta$ is sufficiently small, and for any fixed $beta$ if $rho$ is sufficiently small. The thermodynamic equilibrium is described by the symmetrised trace of $rm e^-beta Hcal_N$, where $Hcal_N$ denotes the corresponding Hamilton operator. The well-known Feynman-Kac formula reformulates this trace in terms of $N$ interacting Brownian bridges. Due to the symmetrisation, the bridges are organised in an ensemble of cycles of various lengths. The novelty of our approach is a description in terms of a marked Poisson point process whose marks are the cycles. This allows for an asymptotic analysis of the system via a large-deviations analysis of the stationary empirical field. The resulting variational formula ranges over random shift-invariant marked point fields and optimizes the sum of the interaction and the relative entropy with respect to the reference process. In our proof of the lower bound for the free energy, we drop all interaction involving lq infinitely longrq cycles, and their possible presence is signalled by a loss of mass of the lq finitely longrq cycles in the variational formula. In the proof of the upper bound, we only keep the mass on the lq finitely longrq cycles. We expect that the precise relationship between these two bounds lies at the heart of Bose-Einstein condensation and intend to analyse it further in future.

  • M. Aizenman, S. Jansen, P. Jung, Symmetry breaking in quasi-1D Coulomb systems, Annales Henri Poincare. A Journal of Theoretical and Mathematical Physics, 11 (2010), pp. 1453--1485.
    Abstract
    Quasi one-dimensional systems are systems of particles in domains which are of infinite extent in one direction and of uniformly bounded size in all other directions, e.g. on a cylinder of infinite length. The main result proven here is that for such particle systems with Coulomb interactions and neutralizing background, the so-called “jellium”, at any temperature and at any finite-strip width there is translation symmetry breaking. This extends the previous result on Laughlin states in thin, two-dimens The structural argument which is used here bypasses the question of whether the translation symmetry breaking is manifest already at the level of the one particle density function. It is akin to that employed by Aizenman and Martin (1980) for a similar statement concerning symmetry breaking at all temperatures in strictly one-dimensional Coulomb systems. The extension is enabled through bounds which establish tightness of finite-volume charge fluctuations.

  • A. Collevecchio, W. König, P. Mörters, N. Sidorova, Phase transitions for dilute particle systems with Lennard--Jones potential, Communications in Mathematical Physics, 299 (2010), pp. 603--630.

  Beiträge zu Sammelwerken

  • M. Kantner, U. Bandelow, Th. Koprucki, H.-J. Wünsche, Multi-scale modelling and simulation of single-photon sources on a device level, in: Euro-TMCS II -- Theory, Modelling & Computational Methods for Semiconductors, 7th -- 9th December 2016, Tyndall National Institute, University College Cork, Ireland, E. O'Reilly, S. Schulz, S. Tomic, eds., Tyndall National Institute, 2016, pp. 65.

  Preprints, Reports, Technical Reports

  • M. Mittnenzweig, Hydrodynamic limit and large deviations of reaction-diffusion master equations, Preprint no. 2521, WIAS, Berlin, 2018, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2521 .
    Abstract, PDF (389 kByte)
    We derive the hydrodynamic limit of a reaction-diffusion master equation, that combines an exclusion process with a reversible chemical master equation expression for the reaction rates. The crucial assumption is that the associated macroscopic reaction network has a detailed balance equilibrium. The hydrodynamic limit is given by a system of reaction-diffusion equations with a modified mass action law for the reaction rates. We provide the upper bound for large deviations of the empirical measure from the hydrodynamic limit.

  Vorträge, Poster

  • A. Stephan, Rigorous derivation of the effective equation of a linear reaction system with different time scales, 90th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2019), Section S14 ``Applied Analysis'', February 18 - 22, 2019, Universität Wien, Technische Universität Wien, Austria, February 21, 2019.

  • W. Dreyer, Thermodynamics and kinetic theory of non-Newtonian fluids, Technische Universität Darmstadt, Mathematische Modellierung und Analysis, June 13, 2018.

  • M. Kantner, Multi-scale modeling and numerical simulation of single-photon emitters, Matheon Workshop--9th Annual Meeting ``Photonic Devices", Zuse Institut, Berlin, March 3, 2016.

  • M. Kantner, Multi-scale modelling and simulation of single-photon sources on a device level, Euro--TMCS II Theory, Modelling & Computational Methods for Semiconductors, Tyndall National Institute and University College Cork, Cork, Ireland, December 9, 2016.

  • A. Mielke, On entropic gradient structures for classical and quantum Markov processes with detailed balance, Pure Analysis and PDEs Seminar, Imperial College London, Department of Mathematics, UK, May 11, 2016.

  • A. Mielke, Chemical Master Equation: Coarse graining via gradient structures, Kolloquium des SFB 1114 ``Scaling Cascades in Complex Systems'', Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathematik, Berlin, June 4, 2015.

  • A. Mielke, Geometric approaches at and for theoretical and applied mechanics, Phil Holmes Retirement Celebration, October 8 - 9, 2015, Princeton University, Mechanical and Aerospace Engineering, New York, USA, October 8, 2015.

  • A. Mielke, The Chemical Master Equation as a discretization of the Fokker--Planck and Liouville equation for chemical reactions, Colloquium of Collaborative Research Center/Transregio ``Discretization in Geometry and Dynamics'', Technische Universität Berlin, Institut für Mathematik, Berlin, February 10, 2015.

  • A. Mielke, The Fokker--Planck and Liouville equations for chemical reactions as large-volume approximations of the Chemical Master Equation, Workshop ``Stochastic Limit Analysis for Reacting Particle Systems'', December 16 - 18, 2015, WIAS Berlin, Berlin, December 18, 2015.

  • R.I.A. Patterson, Approximation errors for Smoluchowski simulations, 10 th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, July 6 - 10, 2015, Johannes Kepler Universität Linz, Austria, July 7, 2015.

  • A. Mielke, Generalized gradient structures for reaction-diffusion systems, Applied Mathematics Seminar, Università di Pavia, Dipartimento di Matematica, Italy, June 17, 2014.

  • R.I.A. Patterson, Monte Carlo simulation of nano-particle formation, University of Technology Eindhoven, Institute for Complex Molecular Systems, Netherlands, September 5, 2013.

  • S. Jansen, Large deviations for interacting many-particle systems in the Saha regime, Berlin-Leipzig Seminar on Analysis and Probability Theory, July 8, 2011, Technische Universität Clausthal, Institut für Mathematik, July 8, 2011.

  • W. König, Eigenvalue order statistics and mass concentration in the parabolic Anderson model, Berlin-Leipzig Seminar on Analysis and Probability Theory, Technische Universität Clausthal, Institut für Mathematik, July 8, 2011.

  • W. König, Phase transitions for dilute particle systems with Lennard--Jones potential, University of Bath, Department of Mathematical Sciences, UK, April 14, 2010.

  • W. König, Phase transitions for dilute particle systems with Lennard--Jones potential, Workshop on Mathematics of Phase Transitions: Past, Present, Future, November 12 - 15, 2009, University of Warwick, Coventry, UK, November 15, 2009.