Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:


Analysis partieller Differentialgleichungen und Evolutionsgleichungen

Partielle Differentialgleichungen liefern adäquate Modelle für Phänomene in Naturwissenschaft und Technik. Am Weierstrass-Institut haben die Forschungen hierzu zwei hauptsächliche Schwerpunkte: a) Regularität von Lösungen linearer, elliptischer Gleichungen und b) Existenz, Einzigkeit und Regularität der Lösungen von Evolutionsgleichungen. [>> more]

Direkte und inverse Probleme in der Thermomechanik

Thermomechanische Modelle bilden die Grundlage für die Beschreibung zahlreicher technischer Prozesse. Die Berücksichtigung von Phasenübergängen und die Verwendung inelastischer konstitutiver Gesetze werfen spannende neue Fragen sowohl bei der Analysis der direkten Probleme als auch bei der Identifizierung der Materialparameter auf. [>> more]

Funktionalanalysis und Operatortheorie

Funktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen, mit der Analysis von multiskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen und schließlich mit mathematischen Problemen von Halbleitermodellen verbunden. [>> more]

Große Abweichungen

Die Theorie der Großen Abweichungen, ein Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt Mittel bereit zur Beschreibung der asymptotischen exponentiellen Abfallrate von sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten für sehr große oder sehr kleine Werte eines Parameters. Beispiele für solche Parameter sind große Zeiten, große Anzahlen von Zufallsgrößen, der Radius großer Boxen, tiefe Temperaturen oder Approximationsparameter. [>> more]

Hysterese-Operatoren und ratenunabhängige Systeme

Zeitabhängige Prozesse in Physik, Biologie und Wirtschaft zeigen häufig ein ratenunabhängiges Eingangs-Ausgangs-Verhalten. In diesen Prozessen treten häufig Hystereseeffekte auf, die von einem dem Prozess innewohnenden Gedächtnis hervorgerufen werden. Es gibt zwei Methoden derartige Systeme zu beschreiben: 1. Es können die beobachtbaren Variablen durch innere Variablen zur Beschreibung des momentanen Zustandes ergänzt werden, und dann wird die Evolution der inneren Variablen als Funktion der Eingabe beschrieben. 2.In vielen Fällen können Hysterese-Operatoren zur direkten Beschreibung des Eingangs-Ausgangs-Verhaltens gefunden werden, wobei dabei der Zustand zu einer Zeit von der gesamten Vorgeschichte abhängt. [>> more]

Interagierende stochastische Vielteilchensysteme

Bei der mathematischen Modellierung vieler Vorgänge und Phänomene in Natur und Technik werden Systeme mit vielen zufälligen Teilchen und Wechselwirkungen eingesetzt. [>> more]

Mehrskalenmodellierung und Hybridmodelle

Da moderne Bauteile in der Mechanik, Elektronik oder Optik immer kleiner werden, hängt ihre Effizienz von Effekte auf verschiedenen Längenskalen ab. Dabei ist ein Ziel, die Wirkprinzipien durch eine geeignete Wahl dünner aktive Grenzschichten oder periodischer Mikrostrukturen zu optimieren. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]

Modellierung, Analysis und Numerik von Phasenfeldmodellen

Die Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]

Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und Simulation

Die mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf Systeme partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]

Variationsrechnung

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. [>> more]