Stochastische Systeme mit Wechselwirkung

Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Die Theorie der Großen Abweichungen, ein Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt Mittel bereit zur Beschreibung der asymptotischen exponentiellen Abfallrate von sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten für sehr große oder sehr kleine Werte eines Parameters. Beispiele für solche Parameter sind große Zeiten, große Anzahlen von Zufallsgrößen, der Radius großer Boxen, tiefe Temperaturen oder Approximationsparameter. [>> more]

Bei der mathematischen Modellierung vieler Vorgänge und Phänomene in Natur und Technik werden Systeme mit vielen zufälligen Teilchen und Wechselwirkungen eingesetzt. [>> more]

Kinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]

Viele physikalische Vorgänge oder Phänomene werden durch zufällige Operatoren beschrieben, insbesondere durch ihr Spektrum. Die meist studierten solchen Operatoren sind der zufällige Schrödinger-Operator (der Anderson-Operator) im euklidischen Raum und der Laplace-Operator im diskreten euklidischen Raum mit zufälligen Gewichten (Leitfähigkeiten) auf den Kanten. [>> more]

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. [>> more]

Am WIAS werden etliche Modelle der Naturwissenschaften betrachtet, die von einer engen Verzahnung der zufälligen und der räumlichen Komponenten leben, d.h., in denen Phänomene beobachtet werden, die hauptsächlich aus einem Zusammenwirken von zufälligen Einflüssen und Räumlichkeit entstehen. Dazu gehören interagierende Systeme von Pfaden oder Graphen oder anderen Strukturen im Raum, die bei der Beschreibung von Kondensations- oder Koagulationsvorgängen benutzt werden, oder räumliche Verzweigungsprozesse in zufälligen Medien, um nur ein paar Beispiele zu nennen. Das Ziel ist die Entwicklung von mathematischen Methoden für die makroskopische Beschreibung solcher Systeme. [>> more]

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Weitere mathematische Forschungsthemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:

Große zufällige Systeme von Teilchen mit Wechselwirkungen werden meist entweder durch gekoppelte Systeme von stochastischen Differentialgleichungen oder durch Hamilton'sche Funktionen definiert. [>> more]