Phasenübergänge und multifunktionale Materialien

Hauptanwendungsgebiet

Mathematische Themen

Algorithmen für die Erzeugung 3D randkonformer Delaunaygitter

Um partielle Differentialgleichungen numerisch lösen zu können, muss das Gebiet, in dem sie gegeben sind, zunächst in viele einfache Zellen unterteilt werden. Die Genauigkeit und die Konvergenz der numerischen Lösungsmethode werden von der Qualität dieser Unterteilung stark beeinflusst. Ein randkonformes Delaunay-Gitter erlaubt die Konstruktion Voronoi-box basierter Finite-Volumen-Verfahren, welche es erlauben, wesentliche qualitative Eigenschaften vom stetigen auf das diskrete Problem zu übertragen. Ziel des Projektes ist die Erzeugung 3D randkonformer Delaunay-Gitter mit guter Qualität. [>> more]

Analysis partieller Differentialgleichungen und Evolutionsgleichungen

Partielle Differentialgleichungen liefern adäquate Modelle für Phänomene in Naturwissenschaft und Technik. Am Weierstrass-Institut haben die Forschungen hierzu zwei hauptsächliche Schwerpunkte: a) Regularität von Lösungen linearer, elliptischer Gleichungen und b) Existenz, Einzigkeit und Regularität der Lösungen von Evolutionsgleichungen. [>> more]

Analysis stochastischer Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Bewegungen von Partikeln zu modellieren. In ähnlicher Weise können partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der gesamten Trajektorien der Partikel eingesetzt werden. Es ist natürlich, zufälliges Rauschen in solche Modelle einzubauen: Teils kann man durch Einbeziehung von Zufälligkeit realistischere Modellierungen erhalten, teils ist sie inhärent fundamental für das Modell wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Finanzmärkten. [>> more]

Direkte und inverse Probleme für die Maxwellgleichungen

Die Arbeiten auf diesem Gebiet stehen im Zusammenhang mit direkten und inversen Streuproblemen sowie Maxwellgleichungen auf heterogenen Gebieten und Magnetohydrodynamik. [>> more]

Freie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen

Freie Randwertprobleme werde insbesondere untersucht im Zusammenhang mit der Produktion moderner Stähle sowie in der Energietechnologie [>> more]

Funktionalanalysis und Operatortheorie

Funktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen, mit der Analysis von multiskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen und schließlich mit mathematischen Problemen von Halbleitermodellen verbunden. [>> more]

Große Abweichungen

Die Theorie der Großen Abweichungen, ein Zweig der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt Mittel bereit zur Beschreibung der asymptotischen exponentiellen Rate der Abweichung einer stochastischen Größe von ihrem erwarteten Verhalten mit Hilfe einer Variationsformel. Ferner wird mit Hilfe dieser Theorie die Asymptotik der Partitionsfunktion vieler Modelle der Statistischen Physik einer Beschreibung durch eine solche Formel zugänglich gemacht. [>> more]

Hysterese-Operatoren und ratenunabhängige Systeme

Zeitabhängige Prozesse in Physik, Biologie und Wirtschaft zeigen häufig ein ratenunabhängiges Eingangs-Ausgangs-Verhalten. In diesen Prozessen treten häufig Hystereseeffekte auf, die von einem dem Prozess innewohnenden Gedächtnis hervorgerufen werden. Es gibt zwei Methoden derartige Systeme zu beschreiben: 1. Es können die beobachtbaren Variablen durch innere Variablen zur Beschreibung des momentanen Zustandes ergänzt werden, und dann wird die Evolution der inneren Variablen als Funktion der Eingabe beschrieben. 2.In vielen Fällen können Hysterese-Operatoren zur direkten Beschreibung des Eingangs-Ausgangs-Verhaltens gefunden werden, wobei dabei der Zustand zu einer Zeit von der gesamten Vorgeschichte abhängt. [>> more]

Lösung großer, schwach besetzter linearer Gleichungssysteme

Große, dünn besetzte, lineare Gleichungssysteme sind in fast allen Anwendungen zu finden (siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation). Ihre Lösung ist in Applikationen oft der limitierende Teil, auch wenn eindeutige Lösbarkeit bewiesen ist. Aus der extrem weiten Verbreitung linearer Gleichungssysteme entsteht die Nutzerforderung nach einem zuverlässigen ''black box'' Löser. Hardware und Programmiermodelle beeinflussen die Lösung linearer Gleichungssysteme besonders stark, da sie oft der Teilalgorithmus mit der größten Komplexität sind. Die WIAS-Aktivitäten konzentrieren sich auf Verbesserungen an PARDISO und die Konstruktion von Vorkonditionierern für spezielle, oft zu lösende Probleme. [>> more]

Mehrskalenmodellierung und Asymptotische Analysis

Die Arbeiten auf diesem Gebiet stehen im Zusammenhang mit Dünnfilmgleichungen; Platten, Balken, Schalen und Bögen; scharfen Limites von Diffusionsgleichungen mit mechanischer Kopplung in der Energietechnologie sowie scharfen Limites von verallgemeinerten Navier-Stokes-Korteweg-Systemen. [>> more]

Mehrskalenmodellierung und Hybridmodelle

Da moderne Bauteile in der Mechanik, Elektronik oder Optik immer kleiner werden, hängt ihre Effizienz von Effekte auf verschiedenen Längenskalen ab. Dabei ist ein Ziel, die Wirkprinzipien durch eine geeignete Wahl dünner aktive Grenzschichten oder periodischer Mikrostrukturen zu optimieren. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]

Modellierung, Analysis und Numerik von lokalen und nichtlokalen Phasenfeldmodellen

Die Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]

Nichtlineare kinetische Gleichungen

Nichtlineare kinetische Gleichungen werden benutzt, um das Verhalten sehr unterschiedlicher physikalischer Systeme zu beschreiben (z.B. Gase, Tropfenwolken, geladene Teilchen). Eigenschaften ihrer Lösungen (Existenz, Regularität) können mittels stochastischer Methoden untersucht werden. Auf Grund der hohen Dimension dieser Gleichungen basieren Algorithmen zu ihrer numerischen Behandlung oft auf interagierenden stochastischen Teilchensystemen. [>> more]

Numerische Verfahren für gekoppelte Systeme der Strömungsmechanik

Forschungsschwerpunkte sind Verfahren für Konvektions-Diffusions-Gleichungen, Transportgleichungen mit exponentiellen Nichtlinearitäten und die Navier-Stokes-Gleichungen (turbulente Strömungen). Die Verfahren beruhen auf FEM- oder FVM-Diskretisierungen im Raum und impliziten Diskretisierungen in der Zeit. Als Anwendungen werden Populationsbilanzsysteme und Roosbroeck-Systeme untersucht. [>> more]

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen und nichtlineare Optimierung

Viele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems ist von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen... [>> more]

Spektraltheorie zufälliger Operatoren

Die Beschreibung der Eigenwerte und Eigenfunktionen zufälliger Operatoren kombiniert wahrscheinlichkeitstheoretische und analytische Methoden zur Untersuchung von Problemen, die häufig durch Anwendungen motiviert sind. Untersuchungsobjekte sind vor allem zufällige Schrödinger-Operatoren und zufällige Matrizen, aber auch zufällige Systeme mit komplexeren Symmetrieeigenschaften. [>> more]

Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und Simulation

Die mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf Systeme partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]

Variationsrechnung

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. [>> more]

Wechselwirkende stochastische Systeme

Große zufällige Systeme von Teilchen mit Wechselwirkungen werden meist entweder durch gekoppelte Systeme von stochastischen Differentialgleichungen oder durch Hamilton'sche Funktionen definiert. [>> more]