Mathematische Themen
Analysis gewöhnlicher und partieller stochastischer DifferentialgleichungenGewöhnliche Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Bewegungen von Partikeln zu modellieren. In ähnlicher Weise können partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der gesamten Trajektorien der Partikel eingesetzt werden. Es ist natürlich, zufälliges Rauschen in solche Modelle einzubauen: Teils kann man durch Einbeziehung von Zufälligkeit realistischere Modellierungen erhalten, teils ist sie inhärent fundamental für das Modell wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Finanzmärkten. [>> more]
Analysis partieller Differentialgleichungen und EvolutionsgleichungenPartielle Differentialgleichungen bieten einen leistungsstarken und vielseitigen Rahmen für eine Kontinuumsbeschreibung von Phänomenen in Naturwissenschaft und Technik mit komplexen Wechselwirkungen und Abhängigkeiten. Am Weierstrass-Institut hat die Forschung hierzu drei hauptsächliche Schwerpunkte: (a) Mathematische Analysis allgemeiner Evolutionsgleichungen im Hinblick auf Existenz, Einzigkeit und Regularität von verschiedener Begriffen von Lösungen, (b) Entwicklung von variationellen Methoden unter Verwendung des Werkzeugkastens der Variationsrechnung, (c) Regularitätsergebnisse für Lösungen von elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. [>> more]
Direkte und inverse Probleme für die MaxwellgleichungenDie Arbeiten umfassen Modelle für die induktive Erwärmung von Stahloberflächen und für die Streuung von Lichtwellen an periodischen Oberflächenstrukturen. Dazu wird die quasistationäre Maxwell-Gleichung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen gekoppelt bzw. es wird die zeitharmonische Maxwell-Gleichung kombiniert mit speziellen Ausstrahlungsbedingungen gelöst. Konvergenz numerischer Verfahren und verschiedene inverse Promblemstellungen werden analysiert. [>> more]
Freie Randwertprobleme für partielle DifferentialgleichungenFreie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen beschreiben Situationen, in denen eine partielle Differentialgleichung auf einen Gebiet betrachtet wird, welches von der Lösung der Gleichung abhängt. Im Zusammenhang mit freien Randwertproblemen werden am WIAS Themen wie Eigenschaften von Lösungen, Phasenfeld-Approximationen, Kompatibilität mit der Thermodynamik, Beschreibung dünner Filme, Variationelle Ungleichungen, (implizite) Hindernisprobleme und Anwendungen beim Warmformen behandelt. [>> more]
Funktionalanalysis und OperatortheorieFunktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen sowie mit der Analysis von mehrskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen verbunden. [>> more]
Große AbweichungenDie Theorie der Großen Abweichungen, ein Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt Mittel bereit zur Beschreibung der asymptotischen exponentiellen Abfallrate von sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten für sehr große oder sehr kleine Werte eines Parameters. Beispiele für solche Parameter sind große Zeiten, große Anzahlen von Zufallsgrößen, der Radius großer Boxen, tiefe Temperaturen oder Approximationsparameter. Diese probabilistische Theorie ist auch unverzichtbar bei der Behandlung etlicher Modelle der statistischen Physik, denn sie macht sie einer Analyse mit Hilfe von Variationstechniken zugänglich. Am WIAS werden sowohl Theorie als auch diffizile Anwendungen in Physik und Chemie vorangetrieben. [>> more]
Hysterese-Operatoren und ratenunabhängige SystemeZeitabhängige Prozesse in Physik, Biologie und Wirtschaft zeigen häufig ein ratenunabhängiges Eingangs-Ausgangs-Verhalten. In diesen Prozessen treten häufig Hystereseeffekte auf, die von einem dem Prozess innewohnenden Gedächtnis hervorgerufen werden. Am WIAS werden zwei Methoden verwendet, um derartige Systeme zu beschreiben: Ratenunabhängige Systeme sind ratenunabhängige quasistatische Evolutionsgleichungen, die mit einem Energiefunktional und einem Dissipationspotential formuliert werden. Hysterese-Operatoren bilden zeitabhängige (input-)Funktionen auf zeitabhängige (Output-) Funktionen ab, wobei der Operator raten-unabhängig und kausal ist. [>> more]
Mehrskalenmodellierung, asymptotische Analysis und HybridmodelleUm das Zusammenspiel von verschiedenen physikalischen Effekten zu verstehen, müssen häufig mehrere Längenskalen in das Modell einbezogen werden. Dabei ist ein Ziel, die Beschreibungen uber partielle Differentialgleichungen zu vereinfachen. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]
Modellierung, Analysis und Numerik von PhasenfeldmodellenDie Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]
Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen mit stochastischen KoeffizientenModelle anwendungsnaher Phänomene unterliegen stets Unsicherheiten, die sich in nichtlinearer Art auf die Lösungen übertragen. Numerische Verfahren für PDE mit stochastischen Daten ermöglichen, diese Unsicherheiten in Abhängigkeit der stochastischen Eingangsdaten zu quantifizieren, erfordern aufgrund der hohen Komplexiät allerdings moderne Kompressionsverfahren.. [>> more]
Numerische Verfahren für Probleme der StrömungsmechanikEin Hauptarbeitsgebiet ist die Entwicklung, Untersuchung, Verbesserung und Anwendung numerischer Verfahren für Probleme der Strömungsmechanik. Die räumliche Diskretisierung der Gleichungen beruht auf Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden. Ein Schwerpunkt sind sogenannte physikalisch konsistente Verfahren, d.h. Verfahren, bei denen wichtige physikalische Eigenschaften des stetigen Problems auf das diskrete übertragen werden können. Es werden insbesondere Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen, van Roosbroeck-Systeme und Navier-Stokes-Gleichungen betrachtet. [>> more]
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen und nichtlineare OptimierungViele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen. [>> more]
Optimaler Transport: Statistik, Numerik und Partielle DifferentialgleichungenDie Theorie des Optimalen Transports verbindet partielle Differentialgleichungen, Geometrie und Stochastik. Die Forschung am WIAS konzentriert sich einerseits darauf, Methoden und Werkzeuge aus der Theorie des Optimalen Transports auf Probleme in der Statistik anzuwenden, wie beispielsweise halbüberwachtes und unüberwachtes Lernen, Clustering und Textklassifikation, sowie in der Bildrecherche durch Entwicklung und Analysis neuer numerischer Algorithmen und Schemata. Andererseits wird die Theorie des optimalen Transports erweitert, beispielsweise in Richtung unbalanciertem optimalen Transports und der Verbindung zu Evolutionsgleichungen über Gradientensysteme. [>> more]
Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und SimulationDie mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf (Anfangs-) Randwert-Probleme mit Systemen partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]
VariationsrechnungViele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. Am WIAS werden Methoden aus der Variationsrechnung angewandt und weiterentwickelt für Probleme aus verschiedenen Bereichen der Physik, wie z.B. in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik und der optimalen Steuerung. [>> more]
Zufällige geometrische SystemeSysteme mit vielen zufälligen, im Raum verteilen Komponenten (Punkte, Kanten, Graphen, Trajektorien etc.) mit vielen kurz- oder auch langreichweitigen Interaktionen werden am WIAS auf ihre makroskopischen Eigenschaften hin untersucht. Besonderes Augenmerk wird gerichtet auf Formierung besonders großer Strukturen in dem System oder andere Phasenübergänge. [>> more]
Archiv
Weitere MathematischeThemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:
Algorithmen für die Erzeugung 3D randkonformer DelaunaygitterUm partielle Differentialgleichungen numerisch lösen zu können, muss das Gebiet, in dem sie gegeben sind, zunächst in viele einfache Zellen unterteilt werden. Die Genauigkeit und die Konvergenz der numerischen Lösungsmethode werden von der Qualität dieser Unterteilung stark beeinflusst. Ein randkonformes Delaunay-Gitter erlaubt die Konstruktion Voronoi-box basierter Finite-Volumen-Verfahren, welche es erlauben, wesentliche qualitative Eigenschaften vom stetigen auf das diskrete Problem zu übertragen. Ziel des Projektes ist die Erzeugung 3D randkonformer Delaunay-Gitter mit guter Qualität. [>> more]
MagnetohydrodynamikBei der Züchtung von Halbleiterkristallen zur Herstellung von Halbleiterbauteilen werden oft elektromagnetische Felder zur Induktionsheizung eingesetzt. Die Modellierung der Kristallzüchtung führt in diesem Umfeld auf Systeme gekoppelter partieller Differentialgleichungen. [>> more]
Nichtlineare kinetische GleichungenKinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]
Spektraltheorie zufälliger OperatorenDurch Spektren zufälliger Operatoren können physikalische Vorgänge und Phänomene beschrieben werden. Im Mittelpunkt der Forschungen in diesem Gebiet stehen steht die mathematische Untersuchung von Konzentrationsphänomenen der Spektralzustände am Rande des Spektrums mit Hilfe probabilistischer Methoden (Feynman-Kac-Formel, große Abweichungen) und ihrer Auswirkungen auf elektrische Leiteigenschaften einer Metalllegierung, die das Modell beschreibt. Diese Untersuchungen werden mit der Analyse der analogen probabilistischen Modelle (zufällige Irrfahrten in zufälligem Potential) verbunden und führen so zu weiteren Ergebnissen von unabhängigem Interesse. [>> more]
