Mathematische Themen
Analysis gewöhnlicher und partieller stochastischer DifferentialgleichungenGewöhnliche Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Bewegungen von Partikeln zu modellieren. In ähnlicher Weise können partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der gesamten Trajektorien der Partikel eingesetzt werden. Es ist natürlich, zufälliges Rauschen in solche Modelle einzubauen: Teils kann man durch Einbeziehung von Zufälligkeit realistischere Modellierungen erhalten, teils ist sie inhärent fundamental für das Modell wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Finanzmärkten. [>> more]
Analysis partieller Differentialgleichungen und EvolutionsgleichungenPartielle Differentialgleichungen bieten einen leistungsstarken und vielseitigen Rahmen für eine Kontinuumsbeschreibung von Phänomenen in Naturwissenschaft und Technik mit komplexen Wechselwirkungen und Abhängigkeiten. Am Weierstrass-Institut hat die Forschung hierzu drei hauptsächliche Schwerpunkte: (a) Mathematische Analysis allgemeiner Evolutionsgleichungen im Hinblick auf Existenz, Einzigkeit und Regularität von verschiedener Begriffen von Lösungen, (b) Entwicklung von variationellen Methoden unter Verwendung des Werkzeugkastens der Variationsrechnung, (c) Regularitätsergebnisse für Lösungen von elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. [>> more]
Direkte und inverse Probleme für die MaxwellgleichungenDie Arbeiten umfassen Modelle für die induktive Erwärmung von Stahloberflächen und für die Streuung von Lichtwellen an periodischen Oberflächenstrukturen. Dazu wird die quasistationäre Maxwell-Gleichung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen gekoppelt bzw. es wird die zeitharmonische Maxwell-Gleichung kombiniert mit speziellen Ausstrahlungsbedingungen gelöst. Konvergenz numerischer Verfahren und verschiedene inverse Promblemstellungen werden analysiert. [>> more]
Direkte und inverse Probleme in der ThermomechanikThermomechanische Modelle bilden die Grundlage für die Beschreibung zahlreicher technischer Prozesse. Die Berücksichtigung von Phasenübergängen und die Verwendung inelastischer konstitutiver Gesetze werfen spannende neue Fragen sowohl bei der Analysis der direkten Probleme als auch bei der Identifizierung der Materialparameter auf. [>> more]
Entwicklung und Analyse von FinanzmodellenBei der Entwicklung von Finanzmodellen für eine praxisnahe Beschreibung eines Finanzprozesses, z.B. Aktienkurs oder EurIBOR Zinskurve, ist bekanntlich das klassische Black-Scholes Modell nicht ausreichend geeignet. Insbesondere werden am Markt beobachtete Volatilitäts-Profile durch das Black-Scholes Modell nicht erklärt. Aus diesem Grund werden Finanzmärkte typischerweise durch Prozesse mit stochastischer Volatilität oder Sprüngen modelliert, also durch Ito-Levy-Prozesse. Besonders im Fokus stehen heutzutage rauhe Volatilitätsmodelle, d.h. Hölder stetige Volatilitätsprozesse die wesentlich rauher sind als die Brown'sche Bewegung. [>> more]
Freie Randwertprobleme für partielle DifferentialgleichungenFreie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen beschreiben Situationen, in denen eine partielle Differentialgleichung auf einen Gebiet betrachtet wird, welches von der Lösung der Gleichung abhängt. Im Zusammenhang mit freien Randwertproblemen werden am WIAS Themen wie Eigenschaften von Lösungen, Phasenfeld-Approximationen, Kompatibilität mit der Thermodynamik, Beschreibung dünner Filme, Variationelle Ungleichungen, (implizite) Hindernisprobleme und Anwendungen beim Warmformen behandelt. [>> more]
Funktionalanalysis und OperatortheorieFunktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen sowie mit der Analysis von mehrskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen verbunden. [>> more]
Methoden für Stopp- und KontrollproblemeStochastische numerische Algorithmen für optimale Stopp- und Kontrollprobleme werden für die Bewertung von meist hochdimensionalen abrufbaren oder kündbaren Produkten oder die Bestimmung optimaler Entscheidungsstrategien in Systemen mit hochdimensionalen zugrunde liegenden Größen benötigt. Dabei liefern primäre Verfahren suboptimale Ausübungsstrategien, also untere Schätzungen des Zielwertes (z.B. Preis), während duale Verfahren obere Schätzungen liefern. Natürlich sollte die Lücke zwischen unteren und oberen Schranken, die sich aus diesen Ansätzen ergibt, so klein wie möglich sein. [>> more]
Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen mit stochastischen KoeffizientenModelle anwendungsnaher Phänomene unterliegen stets Unsicherheiten, die sich in nichtlinearer Art auf die Lösungen übertragen. Numerische Verfahren für PDE mit stochastischen Daten ermöglichen, diese Unsicherheiten in Abhängigkeit der stochastischen Eingangsdaten zu quantifizieren, erfordern aufgrund der hohen Komplexiät allerdings moderne Kompressionsverfahren.. [>> more]
Numerische Verfahren für Probleme der StrömungsmechanikEin Hauptarbeitsgebiet ist die Entwicklung, Untersuchung, Verbesserung und Anwendung numerischer Verfahren für Probleme der Strömungsmechanik. Die räumliche Diskretisierung der Gleichungen beruht auf Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden. Ein Schwerpunkt sind sogenannte physikalisch konsistente Verfahren, d.h. Verfahren, bei denen wichtige physikalische Eigenschaften des stetigen Problems auf das diskrete übertragen werden können. Es werden insbesondere Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen, van Roosbroeck-Systeme und Navier-Stokes-Gleichungen betrachtet. [>> more]
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen und nichtlineare OptimierungViele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen. [>> more]
Statistische InferenzMethoden der Statistische Inferenz dienen der Aufdeckung von Informationen und der Beurteilung ihrer Unsicherheit basierend auf Beobachtungsdaten aus verschiedensten Bereichen der Wirtschaft, Technik und Lebenswissenschaften. Ihre Anwendung umfasst die Modellierung basierend auf Informationen über den datengenerierenden Prozess, die auf der Modellierung basierende Analyse der Daten, und der auf Modelleigenschaften, erzielten Charakterisierungen der Daten und Wissen aus dem Anwendungsgebiet beruhenden Interpretation der Ergebnisse. Theoretische Untersuchungen zu Eigenschaften von Methoden und Modellen dienen der Verbesserung und Validierung dieses Prozesses. [>> more]
Statistische inverse ProblemeIn vielen Anwendungen können die interessierenden Größen nur indirekt beobachtet werden oder müssen von anderen, beobachtbaren Größen abgeleitet werden. Darüberhinaus ist die Rekonstruktion von interessierenden Größen anhand von verrauschten Beobachtungen instabil. [>> more]
Stochastische OptimierungStochastische Optimierung befasst sich im weitesten Sinne mit Optimierungsproblemen, die von Zufallparametern in der Zielfunktion oder den Restriktionen beeinflusst werden. [>> more]
Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und SimulationDie mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf (Anfangs-) Randwert-Probleme mit Systemen partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]
Zufällige geometrische SystemeSysteme mit vielen zufälligen, im Raum verteilen Komponenten (Punkte, Kanten, Graphen, Trajektorien etc.) mit vielen kurz- oder auch langreichweitigen Interaktionen werden am WIAS auf ihre makroskopischen Eigenschaften hin untersucht. Besonderes Augenmerk wird gerichtet auf Formierung besonders großer Strukturen in dem System oder andere Phasenübergänge. [>> more]
Archiv
Weitere MathematischeThemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:
Algorithmen für die Erzeugung 3D randkonformer DelaunaygitterUm partielle Differentialgleichungen numerisch lösen zu können, muss das Gebiet, in dem sie gegeben sind, zunächst in viele einfache Zellen unterteilt werden. Die Genauigkeit und die Konvergenz der numerischen Lösungsmethode werden von der Qualität dieser Unterteilung stark beeinflusst. Ein randkonformes Delaunay-Gitter erlaubt die Konstruktion Voronoi-box basierter Finite-Volumen-Verfahren, welche es erlauben, wesentliche qualitative Eigenschaften vom stetigen auf das diskrete Problem zu übertragen. Ziel des Projektes ist die Erzeugung 3D randkonformer Delaunay-Gitter mit guter Qualität. [>> more]
MagnetohydrodynamikBei der Züchtung von Halbleiterkristallen zur Herstellung von Halbleiterbauteilen werden oft elektromagnetische Felder zur Induktionsheizung eingesetzt. Die Modellierung der Kristallzüchtung führt in diesem Umfeld auf Systeme gekoppelter partieller Differentialgleichungen. [>> more]
