WIAS Preprint No. 258, (1996)

Idealkristalle als Abelsche Varietäten



Authors

  • Krause, Udo

2010 Mathematics Subject Classification

  • 14K25 22E70 35Q40 81Q10 82D25

Abstract

Es wird gezeigt, daß sich Idealkristalle in natürlicher Weise als hauptpolarisierte Abelsche Varietäten darstellen lassen. Es existiert demzufolge auf Λ × Λ eine ganzzahlige schiefsymmetrische Matrix E: Λ × Λ → ℤ, deren Elementarteiler sämtlich gleich 1 sind, wobei Λ das Translationsgitter des Idealkristalls im Phasenraum V ist. Bezüglich derartiger Gitter kann die Gitterdarstellung der Heisenberggruppe definiert werden oder mit anderen Worten: Auf einer hauptpolarisierten Abelschen Varietät kann nichtrelativistische Quantenmechanik betrieben werden. Die Gitterdarstellung wird detailliert betrachtet. Der harmonische Oszillator wird in der Gitterdarstellung berechnet und illustriert. Es zeigt sich, daß die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators in der Gitterdarstellung systematisch aus der mit einem Exponentialfaktor multiplizierten Riemannschen Thetafunktion für die zugrundeliegende hauptpolarisierte Abelsche Varietät hervorgehen. Die vollständigen Eigenfunktionensysteme der Impuls- sowie der Ortsoperatoren werden in der Gitterdarstellung aufgestellt und führen zu einer deutlichen Verbesserung des Galerkinverfahrens für die Berechnung der Bandstruktur des Kristallelektrons.

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