Bearbeiter: U. Krause
Kooperation: K. Gärtner, Institut für Integrierte Systeme, ETH Zürich
Förderung: DFG-Sachbeihilfe
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Kinetische Gleichungen sind von Streukoeffizienten abhängig, die die
Wechselwirkung der betrachteten Teilchen mit anderen, nicht von den Gleichungen
selbst beschriebenen Teilchen und Strukturen enthalten. In die
Streukoeffizienten geht die Wellenfunktion des Elektrons im Halbleiterkristall
ein. Es war daher erforderlich, die Wellenfunktion eines Teilchens im
periodischen Potential genauer zu untersuchen. Es wurde gezeigt, daß sich
jeder Idealkristall in 
in natürlicher Weise als
hauptpolarisierte Abelsche Varietät über 
darstellen
läßt. Es existiert demzufolge auf 
eine
ganzzahlige schiefsymmetrische Matrix 
, deren Elementarteiler sämtlich gleich 1 sind,
wobei 
das Translationsgitter des Idealkristalls im Phasenraum
ist. Bezüglich derartiger Gitter
kann die Gitterdarstellung der Heisenberggruppe definiert werden. Die
Gitterdarstellung ist äquivalent sowohl zur Orts- als auch zur
Impulsdarstellung der Quantenmechanik. Die Eigenfunktionen des Impulsoperators
in der Gitterdarstellung sind
wobei 
eine Funktion ist, die
auf den bezüglich des Impulsgitters kongruenten
Punkt in der 
-ten Brillouinzone des Impulsraumes abbildet. Analog
sind die Eigenfunktionen des Ortsoperators 
aufgebaut, wobei statt der Brillouinzonen des Impulsraumes die
Wigner-Seitz-Zellen des Ortsgitters im Ortsraum zu verwenden sind und der
gesamte Exponent negatives Vorzeichen besitzt.
Die o. g. Eigenfunktionen des Impulsoperators führen zu einer deutlichen Verbesserung des Galerkinverfahrens für die Berechnung der Bandstruktur und der Wellenfunktionen des Kristallelektrons. Mit den Impulseigenfunktionen kann man prototypische Streukoeffizienten berechnen, die die Abhängigkeit vom Kristallgitter richtig berücksichtigen, aber die Abhängigkeit vom realen Kristallpotential ignorieren.
Projektliteratur: