Anfangs- und Randwertprobleme für hyperbolische Systeme

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Anfangs- und Randwertprobleme für hyperbolische Systeme

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik

Beschreibung der Forschungsarbeit:Dies ist eine Fortführung und Erweiterung der Untersuchung über Anwendungen des Maximum-Entropie-Prinzips, [1], [2]. Das aktuelle Ziel des Projektes ist die Entwicklung einer Theorie für Anfangs- und Randwertprobleme für solche hyperbolischen Systeme, die auf einer darunterliegenden mikroskopischen Theorie basieren. Im Berichtszeitraum untersuchten wir hyperbolische Wärmeleitungsprozesse in Kristallen bei Temperaturen von etwa 10 $^{\circ}$ K. Die mikroskopische Theorie ist hier die kinetische Theorie von Phononen, und das hyperbolische System besteht aus Feldgleichungen für die Variablen $e(t,\mathbf{x})$ - Energiedichte und $\mathbf{Q}(t,\mathbf{x})$ - Wärmefluß. Diese lauten bei Beschränkung auf eine makroskopische Raumdimension in schwacher Formulierung

$\begin{displaymath} \oint\limits_{\partial \Omega }\left( edx-Qdt\right) =0,\qqu... ...ht) dt\right) =-\frac{1}{\tau _{R}}\iint\limits_{\Omega }Qdtdx.\end{displaymath}$ (18)

Die nichtlineare Funktion $\chi$ von e und Q ist gegeben durch

$\begin{displaymath} \chi \left( e,Q\right) =\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{1-\frac{3}{4}\left( \frac{Q}{e}\right) ^{2}},\end{displaymath}$ (19)

und $\tau _{R}$ ist eine konstante Relaxationszeit. Schließlich gibt es eine Entropieungleichung, nämlich

$\begin{displaymath} \oint\limits_{\partial \Omega }\left( hdx-\Phi dt\right) \geq 0,\end{displaymath}$ (20)

mit expliziten Funktionen $h\left( e,Q\right)$ für die Entropiedichte und $\Phi \left( e,Q\right)$ für den Entropiefluß, die [3] entnommen werden können.

Wir betrachten das Anfangs- und Randwertproblem für ein halbunendliches Gebiet und geben vor:

$\begin{displaymath} e(0,x)=e_{0}(x)\gt,\qquad Q(0,x)=Q_{0}(x)<e_{0}(x),\qquad e\left( t,0\right) =e_{W}\left( t\right) \gt.\end{displaymath}$ (21)

Es ist uns gelungen, die kinetische Lösung dieses Problems anzugeben. Hierzu benötigen wir einige Abkürzungen und Definitionen, die in [3] ausführlich interpretiert werden und hier nur dazu dienen, die formale Struktur der Lösung aufzuzeigen.

Die Funktion

$\begin{displaymath} x(t)=\bar{x}-\nu \left( \psi (\bar{t})-\psi (t)\right) ,\qqu... ...u _{R}\left( 1-\exp \left( -\frac{t}{\tau _{R}}\right) \right),\end{displaymath}$ (22)

definiert Mikrocharakteristiken. Die Größe

$\begin{displaymath} \nu _{0}=\frac{\bar{x}}{\psi (\bar{t})}\gt\end{displaymath}$ (23)

trennt Anfangsdaten von Randdaten. Die Schnittpunkte einer Mikrocharakteristik durch den Punkt $\left( \bar{t},\bar{x}\right)$ mit der Anfangsachse t=0, bzw. mit dem Rand x=0, sind gegeben durch

$\begin{displaymath} x_{0}(\bar{t},\bar{x},\nu )=\bar{x}-\psi (\bar{t})\nu ,\qqua... ...{t}}{\tau _{R}}\right) +\frac{\bar{x}}{\tau _{R}\nu }\right] ~.\end{displaymath}$ (24)

Die zu integrierende zentrale Funktion lautet

$\begin{displaymath} U(e,Q,\nu )=12\frac{e\left( 1-\chi \left( e,Q\right) \right)... ...\left( 3-\chi \left( e,Q\right) -2\frac{Q}{e}\nu \right) ^{4}}.\end{displaymath}$ (25)

Es folgt der Darstellungssatz für die kinetische Lösung des Anfangs- und Randwertproblems an irgendeiner Stelle $\bar{x}\geq 0$ auf einem Zeitstreifen $0<\bar{t}\leq \tau _{M}$ , wobei $\tau _{M}$ ein positiver Zeitschritt ist.

$\begin{eqnarray} e(\bar{t},\bar{x}) &=&\int\limits_{-1}^{\nu _{0}}U(e_{0}(x_{0}(... ...(t_{W}(\bar{t},\bar{x},\nu )),\nu )\,\nu \,d\nu ~\right] ~. \notag\end{eqnarray}$

Der Darstellungssatz enthält noch eine unbekannte Funktion $Q_{H}\left( t\right)$ , welche Lösung einer algebraischen Gleichung ist. Mit den Abkürzungen

$\begin{displaymath} a=\frac{2}{\left( 3-\chi \left( e_{W},Q_{H}\right) \right) }... ...},\qquad f(a)=\frac{1}{2}\,\frac{a^{2}-3a+3}{a^{2}+3}(1+a)^{3}a\end{displaymath}$ (26)

lautet diese algebraische Gleichung

$\begin{displaymath} 1-f(a(t))=\frac{1}{e_{W}(t)}\,\int\limits_{-1}^{0}U(e_{0}(x_... ...\,d\nu ~,\qquad Q_{H}(t)=\frac{4\,a(t)}{a(t)^{2}+3}\,e_{W}(t)~.\end{displaymath}$ (27)

Der mathematische Inhalt von (12) ist eine Stetigkeitsbedingung, die garantiert, daß die Lösung bei Annäherung an den Rand die Randdaten auch annimmt.

Die Darstellungsformeln (9) und (10) gestatten die iterative Berechnung der Felder e,Q, die zunächst noch vom Zeitschritt $\tau _{M}$ abhängen, aber für $t\geq 0$ und $x\geq 0$ Bilanzgleichungen sowie eine Entropieungleichung der Form (1) und (3) exakt erfüllen. Erst im Grenzfall $\tau _{M}\rightarrow 0$ erhalten wir die exakte Lösung des lokalen hyperbolischen Systems (1), (2) und (3).

Beispielhaft betrachten wir die Anfangsbedingung e(0,x)=1,Q(0,x)=0 sowie die Randbedingung $e\left( t,0\right) =e_{W}\left( t\right)$ mit $e_{W}\left( t\right) =3$ für 0<t<0.5 und $e_{W}\left( t\right) =1$ für $t\geq 0.5$ . Die hieraus entstehende Struktur wurde hier für den Grenzfall $\tau _{R}\rightarrow \infty$ berechnet.

$\begin{figure} \ProjektEPSbildNocap {\textwidth}{ber98.ps} \end{figure}$

Projektliteratur:

W. DREYER, M. KUNIK, The maximum entropy principle revisited, Contin. Mech. Thermodyn., 10 (1998), No. 6, pp. 331-347.
$\dito$ , Reflections of Eulerian shock waves at moving adiabatic boundaries, Monte Carlo Methods and Appl., 4 (1998), No. 3, pp. 231-252.
$\dito$ , Initial and boundary value problems of hyperbolic heat conduction, WIAS-Preprint No. 438, 1998, erscheint in: Contin. Mech. Thermodyn. (1999).