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Mikromechanik und Molekulare Dynamik

     Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik  

Kooperation: W. H. Müller (Heriot-Watt-Universität Edinburgh), T. Hauck (Motorola München)

Beschreibung der Forschungsarbeit:Die Molekulare Dynamik geht aus von der Formulierung der Dynamik von Mikroteilchen und leitet durch Mittelwertbildung die makroskopischen Gesetze des aus diesen Mikroteilchen zusammengesetzten Körpers ab. Unter Mikroteilchen verstehen wir die kleinsten Einheiten, die zum Verständnis gewisser makroskopischer Phänomene betrachtet werden müssen. Viele Fragestellungen in unseren laufenden Projekten erfordern mikromechanische Betrachtungen. Hierzu gehören beispielsweise:

Zur Illustration betrachten wir einen eindimensionalen Festkörper, der aus einer Kette von Atomen aufgebaut ist. Die Atome mit Orten $x^{\alpha
}(t)$ und Geschwindigkeiten $\dot{x}^{\alpha }(t),$ $\alpha =1,2,...,N$, genügen den Newtonschen Bewegungsgleichungen  
 \begin{displaymath}
m\ddot{x}^{\alpha }(t)=-\sum\limits_{\beta \neq \alpha}
\fra...
 ...ert x^{\beta }-x^{\alpha }\vert\right) }{\partial
x^{\alpha }},\end{displaymath} (28)
wo m die Masse eines Atoms ist, und $\varphi \left( \vert x^{\beta }-x^{\alpha
}\vert\right) $ das Potential bezeichnet, welches zwischen den Atomen $\beta$und $\alpha$ besteht. Aus den Newtonschen Gleichungen lassen sich unter gewissen Annahmen Feldgleichungen für die Makrovariablen $\rho \left(
t,x\right) $ - Massendichte und $\mbox{\sl v} \left( t,x\right) $- Geschwindigkeit ableiten, nämlich  
 \begin{displaymath}
\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \rho \mbox{...
 ...{2}-\varphi ^{\prime }\left( \frac{m}{\rho }\right) \right) =0.\end{displaymath} (29)
Dies ist ein hyperbolisches System, falls $\varphi ^{\prime \prime }\gt$gilt. Die Güte der gemachten Annahmen, die zu (2) führen, läßt sich nun dadurch testen, daß wir ein Anfangswertproblem sowohl mit (1) als auch mit (2) lösen. Wir betrachten ein Riemannsches Anfangswertproblem   mit $\rho =1$ und $\mbox{\sl v}=0$ für x<0 und für $x\geq
0$ wählen wir $\rho =1.5$ und berechnen $\mbox{\sl v}$ aus der (2) zugeordneten Rankine-Hugoniot-Beziehung, so daß ein einzelner Stoß entsteht.

\parbox{0.4\textwidth}{\begin{figure}

\ProjektEPSbildNocap {\textwidth}{stoss.eps}
\end{figure}} Die nebenstehende Abbildung zeigt das Dichtefeld, so wie es aus den Newtonschen Gleichungen für N=10000 Atome folgt. Würden nun die gemachten Annahmen, die im wesentlichen die thermischen Schwankungen vernachlässigen, für dieses Anfangswertproblem angemessen sein, dann müßte nach (2) das gleiche Bild herauskommen. Das tut es nicht, denn das System (2) liefert einen Einzelstoß, der in die obere rechte Ecke einmündet. Dies Beispiel zeigt somit eindrucksvoll, wie die Güte phänomenologischer Annahmen mittels Molekulardynamik beurteilt werden kann. Inzwischen wurde das System (2) durch Berücksichtigung der Temperatur verallgemeinert. Ein WIAS-Preprint hierzu ist in Vorbereitung.



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7/30/1999