Bearbeiter: M. Siegfanz, J. Sprekels
Kooperation: M. Brokate, Christian-Albrechts-Universität zu
Kiel,
P. Krejcí, Tschechische Akademie der Wissenschaften,
Prag
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Ziel dieses Projektes ist es, realistische Modelle für die Evolution von Systemen herzuleiten, in denen Nichtlinearitäten vom Hysterese-Typ auftreten. Von besonderem Interesse für die Anwendungen sind dabei Fragen der elastischen Verformung von Ferromagneten in magnetischen Feldern (Magnetostriktion) und der Temperaturabhängigkeit elastoplastischer Hysteresen in Stählen oder Legierungen mit Formgedächtnis.
Zum erstgenannten Thema wurde ein eindimensionales Modell entwickelt, das in vereinfachter Form auf die Feldgleichungen
mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen führt; dabei wird die
ferromagnetische Hysterese zwischen der Magnetisierung und dem
magnetischen Feld
in Form einer Operatorgleichung
mit einem Hysteresis-Operator vom Preisach-Typ
(vgl. [1]) modelliert.
Es gelang, globale Existenz von (schwachen) Lösungen sowohl für den
viskosen () als auch für den nichtviskosen (
) Fall nachzuweisen (im letzteren Fall allerdings nur für kleine
Daten). In Zukunft sollen mehrdimensionale Situationen untersucht
werden, die für den Effekt der Magnetostriktion relevant sind.
Mathematische Modelle der Elastoplastizität im isothermen Fall beruhen meistens entweder auf der Verwendung von Variationsungleichungen oder der wesentlich allgemeineren Hysteresis-Operatoren vom PRANDTL-ISHLINSKII-Typ (vgl. [1]). Die Einbeziehung der Temperatur als zusätzlicher Zustandsvariable bereitet im Fall der Hysteresis-Operatoren grundsätzliche Schwierigkeiten, da nicht klar ist, wie dann die thermodynamischen Potentiale freie Energie, innere Energie und Entropie definiert und der Erste und Zweite Hauptsatz der Thermodynamik angewendet werden können.
In [2] ist es nunmehr erstmalig gelungen, für temperaturabhängige PRANDTL-ISHLINSKII-Operatoren der Form
( Spannung,
Verzerrung,
absolute Temperatur,
Dichtefunktion,
elastisch-plastisches Element zur Schwelle
) eine
thermodynamisch konsistente Theorie der Thermoplastoelastizität zu
entwickeln. Die grundlegende Idee beruht darauf, die in [1]
ausgeführte Theorie der Hysteresis-Potentiale zu
verallgemeinern. Freie Energie, innere Energie und Entropie ergeben
sich dann als Operatoren, nicht länger als Funktionen,
und man erhält eine Thermodynamik von Operatoren. Weiterentwicklungen
dieses Konzeptes wurden in den Arbeiten [3,4] vorgenommen.
Für den einfachsten eindimensionalen Fall erhält man
Zustandsgleichungen der Form
(Massendichte gesetzt)
wobei durch (4) und
durch
gegeben sind. In [2] wurde die Existenz einer (schwachen) Lösung
für eine Anfangs-Randwertaufgabe für dieses System gezeigt, in [3, 4] wurden diese
Resultate verallgemeinert.
Aufgrund der erzielten Ergebnisse steht nun erstmalig ein sehr allgemeiner thermodynamisch konsistenter Ansatz zur mathematischen Modellierung von Problemen der Thermoelastoplastizität zur Verfügung. Die Arbeit an dieser Problemstellung soll im kommenden Jahr intensiviert werden.
Projektliteratur: