Normalformen für homokline Bifurkationen

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Normalformen für homokline Bifurkationen

Bearbeiter: D. Turaev

Kooperation: P. Duarte (Technische Universität Lissabon, Portugal), S. Gonchenko, O. Stenkin (Institut für Angewandte Mathematik und Kybernetik, Nizhny Novgorod, Russland), L. Lerman (Institut für Mathematik, Freie Universität Berlin)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Ergodentheorie, Analysis und effiziente Simulation dynamischer Systeme``, DAAD (NATO-Studienaufenthalte für ausländische Wissenschaftler und Deutsch-Portugiesischer Wissenschaftleraustausch -- INIDA-Programm 2000)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Wir betrachten parameterabhängige dynamische Systeme, die für gewisse Parametergebiete chaotisches Verhalten aufweisen, und setzen voraus, dass in diesen Parametergebieten Bifurkationen periodischer Lösungen auftreten. Das Ziel unserer Untersuchungen besteht darin, diese Bifurkationen zu beschreiben. Unter unseren Voraussetzungen kann man erwarten, dass diese Bifurkationen mit dem Auftreten homokliner Berührungen verbunden sind, d. h. die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit einer sattelartigen periodischen Lösung schneiden sich nicht-transversal in einem Orbit. Da es bekanntlich nicht möglich ist, alle Bifurkationen periodischer Lösungen zu beschreiben, die mit dem Auftreten homokliner Berührungen zusammenhängen, beschränken wir uns auf das Studium periodischer Lösungen, die nur wenige Umläufe in der Umgebung eines homoklinen Orbits besitzen. Zur Untersuchung dieser Bifurkationen verwenden wir die erste Rückkehrabbildung (ER-Abbildung) bzw. deren Iterierte. Zu diesem Zweck soll anhand von geeigneten Koordinatentransformationen diese Abbildung eine möglichst einfache Gestalt annehmen. Da das Definitionsgebiet der zugehörigen ER-Abbildung sehr klein ist, bestehen unsere Koordinatentransformationen im Wesentlichen aus Skalierungen, die das Definitionsgebiet vergrößern. Auf diese Weise werden Normalformen abgeleitet, die nicht von der konkreten Form des dynamischen Systems, sondern von seiner effektiven Dimension ([1]) abhängen.

Im Falle von Abbildungen, die zweidimensionale Flächen kontrahieren und einen Orbit homokliner Berührungen besitzen, kann die ER-Abbildung nahe der homoklinen Kurve im Wesentlichen durch die Parabel-Abbildung

$\begin{displaymath} \bar{y} = M-y^2\end{displaymath}$ (1)

beschrieben werden, wobei M ein reeller Parameter ist ([2]). Daraus folgt, dass alle Kodimension-1-Bifurkationen periodischer Lösungen von (1) typisch sind für alle nichthyperbolischen flächenkontrahierenden Abbildungen mit chaotischem Verhalten. Dieses ziemlich allgemeine Resultat wurde in folgende Richtungen verallgemeinert:

(i)

In [3] wird bewiesen, dass eine Abbildung, die nicht flächenkontrahierend, aber 3D-volumenkontrahierend ist, auf eine der folgenden Normalformen transformiert werden kann:

$\parbox {13cm}{ \begin{eqnarray*} \bar{x} =y, & & \bar{y} = M - y^2 - Bx, \ \bar{x} = y, & & \bar{y} = M - x^2 - Cy,\end{eqnarray*}}$ $% latex2html id marker 2331 \parbox {1cm}{\begin{eqnarray}\end{eqnarray}}$

wobei M,B und C beliebige Werte annehmen können. Im Falle, dass die Abbildung nur 4D-volumenkontrahierend ist, lautet die Normalform

$\begin{displaymath} \bar{x} = y, \ \bar{y} = z, \ \bar{z} = M-Bx -Cz-y^2.\end{displaymath}$ (2)

Das Studium der Bifurkationen der Fixpunkte dieser Abbildungen ist ziemlich einfach. Es kann gezeigt werden, dass in (2) geschlossene invariante Kurven (Kreise) und in (3) seltsame Attraktoren von einem Fixpunkt abzweigen können.

(ii)

In [4] wird gezeigt, dass die ER-Abbildung in der Umgebung einer Kurve homokliner Berührungen einer symplektischen Abbildung eine zweidimensionale glatte symplektische normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit besitzt, auf der die Abbildung die folgende Normalform hat, die der Henon-Abbildung benachbart ist:

$\begin{displaymath} \bar{x} = y, \ \bar{y} = M-x-y^2.\end{displaymath}$

(3)

Es ist bekannt, dass (4) eine wilde hyperbolische Menge besitzt, falls M gewissen Intervallen angehört ([5]). Unter Verwendung dieser Eigenschaft wird in [4] gezeigt, dass Systeme mit homoklinen Berührungen dicht sind in offenen Gebieten symplektischer Abbildungen, die einer beliebigen Abbildung mit einer einzigen homoklinen Berührung benachbart sind.

In [6] wird gezeigt, dass, falls eine vierdimensionale nichthyperbolische symplektische Abbildung mit einer homoklinen Berührung keine partiell hyperbolischen Strukturen besitzt, die zugehörige ER-Abbildung auf die Normalform

$\begin{displaymath} \bar{x} = y, \ \bar{y} = z, \ \bar{z} = w, \ \bar{w} =-x+ M_1 (y+w) + M_2 - x^2\end{displaymath}$ (4)

transformiert werden kann. Da (5) zwei-elliptische (also stabile) Fixpunkte besitzt, treten in den zugehörigen Abbildungen Bifurkationen auf, die zu zwei-elliptischen periodischen Orbits in der Umgebung der homoklinen Berührung führen.

(iii)

In [7] wird gezeigt, dass die ER-Abbildung in der Umgebung einer homoklinen Berührung einer zweidimensionalen Abbildung, die weder flächenkontrahierend noch flächenerhaltend ist, auf die Normalform

$\begin{displaymath} \bar{x} = y, \ \bar{y} = M-Bx - y^2 - \varepsilon xy\end{displaymath}$ (5)

gebracht werden kann, wobei $\varepsilon$ ein kleiner Parameter ist. Es wurden die Bifurkationen invarianter Kreise von (6) untersucht.

(iv)

Zu einer homoklinen Bifurkation gibt es mehr als eine Normalform. Tatsächlich gibt es unendlich viele, die der Anzahl der Umläufe der periodischen Lösung in der Nähe des homoklinen Orbits entsprechen. Für zweidimensionale flächenkontrahierende Abbildungen lautet die Normalform für die Bifurkation einer periodischen Lösung mit zwei Umläufen ([8])

$\begin{displaymath} \bar{y} = M_1 -By - (M_2 -y^2)^2.\end{displaymath}$ (6)

Die Bifurkationsanalyse von (7) zeigt, dass alle grundlegenden Bifurkationen, die in [9] empirisch eingeführt wurden, auch hier auftreten. Damit sind diese Bifurkationen typisch für streng dissipative chaotische Systeme.

Projektliteratur:

D. V. TURAEV, On dimension of non-local bifurcational problems, Bifurcation and Chaos, 6 (1996), pp. 919-948.
S. V. GONCHENKO, L. P. SHILNIKOV, D. V. TURAEV, Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincaré homoclinic orbits, Chaos, 6 (1996), pp. 23-52.
$\dito$ , Coexistence of periodic orbits of different types near homoclinic tangency, in Vorbereitung.
P. DUARTE, S. V. GONCHENKO, D. V. TURAEV, Newhouse regions in multidimensional Hamiltonian systems, in Vorbereitung.
P. DUARTE, Persistent homoclinic tangencies for conservative maps near the identity, Preprint 6/98, IST, Lisboa, March, 1998.
S. V. GONCHENKO, D. V. TURAEV, L. P. SHILNIKOV, Abundance of elliptic periodic orbits near homoclinic tangencies to a saddle-focus, erscheint in: Journal of Control and Dynamical Systems.
V. S. GONCHENKO, S. V. GONCHENKO, On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies , WIAS-Preprint No. 556 , 2000.
O. V. STEN'KIN, D. V. TURAEV, Normal forms near homoclinic tangencies and Mira areas, in Vorbereitung.
C. MIRA, Chaotic dynamics. From the one-dimensional endomorphism to the two-dimensional diffeomorphism, World Scientific, Singapore, 1987.