Spannungsanalyse einer einkristallinen Waferplatte aus Gallium-Arsenid

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Spannungsanalyse einer einkristallinen Waferplatte aus Gallium-Arsenid

Bearbeiter: W. Dreyer , F. Duderstadt

Kooperation: S. Eichler (Freiberger Compound Materials GmbH, Freiberg)

Förderung: Freiberger Compound Materials GmbH (FCM) (Freiberg)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

$\minipage{0.5\textwidth}\begin{figure} \ProjektEPSbildNocap {0.8\textwidth}{angebot4.ps} \end{figure}\endminipage$ Gemäß der nebenstehenden Abbildung führt die FCM Bruchtests mit runden GaAs-Waferplatten durch. Im Test liegen die Platten konzentrisch auf einem Stützring. Die Last F wird durch einen kugelförmigen Stempel aufgebracht. Das WIAS berechnet für vorgegebene Last alle in der Waferplatte auftretenden Spannungsfelder sowie die Durchbiegung der Waferplatte. Hieraus werden die für die Bruchfestigkeit bedeutsamen maximalen Zugspannungen und die maximale Durchbiegung ermittelt.

Der Berechnung liegen die folgenden Annahmen zugrunde:

Die GaAs-Platte wird als kubisch anisotropes elastisches Material behandelt. Die (001) Richtung fällt mit der Lastrichtung zusammen.
Die Übertragung der Last F mittels der Kugel führt zu einer Kontaktfläche Kugel/Wafer, deren Größe mit der Theorie Hertz'scher Pressung für anisotrope Materialien berechnet wird. Diese Theorie liefert außerdem die Druckverteilung auf der Kontaktfläche.
Der Stützring wird als starr angenommen.
Die Verhältnisse an der Kontaktfläche Stützring/Wafer bei R_A werden derart modelliert, dass hier die Durchbiegung null sein soll und dass die Waferplatte hier kein Biegemoment aufnimmt.

Die Variablen sind die rechtwinklig kartesischen Komponenten $u, \upsilon, w$ der Verschiebung sowie die Querkräfte $q_{\alpha },$ $\alpha \in \{1,2\}$ . Die Verschiebungen haben für schubsteife dünne Platten in Lagrange'schen Koordinaten X,Y,Z die Darstellung

$\begin{displaymath} u=-\partial _{X}W\left( X,Y\right) Z+U\left( X,Y\right) ,\qu... ...t( X,Y\right) Z+V\left( X,Y\right) ,\quad w=W\left( X,Y\right).\end{displaymath}$ (1)

Die Feldgleichungen für diese Variablen basieren auf den Gleichgewichtsbedingungen

$\begin{displaymath} \frac{\partial n_{\alpha \beta }}{\partial X_{\beta }}=0,\qu... ...\partial m_{\alpha \beta }}{\partial X_{\beta }}-q_{\alpha }=0,\end{displaymath}$ (2)

wo die Funktion $P\left( X,Y\right)$ die an der Kontaktfläche zwischen Druckkugel und Platte entsprechend der Hertz'schen Theorie wirkende Flächenlast ist. Die Komponenten des Schnittkrafttensors $n_{\alpha \beta }$ und des Schnittmomententensors $m_{\alpha \beta }$ lauten für ein einkristallines Material mit kubischer Kristallsymmetrie

$\begin{eqnarray} n_{11} &=&\frac{h}{2\left( s_{11}^{2}-s_{12}^{2}\right) }\left(... ...\partial _{Y}U+\partial _{X}V+\partial _{X}W\partial _{Y}W\right) \end{eqnarray}$

sowie

$\begin{displaymath} m_{\alpha \beta }=\frac{h^{3}}{12}\left( \frac{s_{12}}{s_{11... ...rtial ^{2}W}{\partial X_{\gamma }\partial X_{\delta }}\right) .\end{displaymath}$ (3)

Hier bezeichnet h die Dicke der Platte, und die Konstanten s₁₁, s₁₂ und s₄₄ sind die unabhängigen Komponenten der Nachgiebigkeitsmatrix.

Die Randbedingungen für dieses System sind

$\begin{displaymath} \begin{array} {ccc} \left( U-\frac{h}{2}\frac{\partial W}{\p... ...ight) ,U\left( 0,R_{A}\right) \right\} }=0\quad & & \end{array}\end{displaymath}$ (4)

$\begin{displaymath} W\vert _{_{\left( X,Y\right) =\left\{ \left( -R_{A},0\right)... ...}}=0\quad \text{oder}\quad q_{N}\vert _{A}=0\quad \text{sonst.}\end{displaymath}$ (5)

m_NN|_A=0.
(6)

Eine Kontrollrechnung mit diesen Randbedingungen, die eine 4-Punkt-Auflage mit drehbarer Lagerung simulieren, führte bei den vorliegenden Materialdaten zu dem Ergebnis W>0, was aber durch den Auflagering verhindert wird. Somit ist

$\begin{displaymath} \left( U-\frac{h}{2}\frac{\partial W}{\partial X}\right) \ve... ...t) \vert _{A}=0,\quad W\vert _{_{A}}=0,\quad m_{NN}\vert _{A}=0\end{displaymath}$

(7)

die natürliche Randbedingung, welche ausdrückt: Die Platte liegt vollständig drehbar auf dem Auflagering.

$\minipage{0.4\textwidth}\begin{figure} \ProjektEPSbildNocap {0.7\textwidth}{fig00-7-11.ps} \end{figure}\endminipage$ Die Berechnung der Flächenlast P (X, Y) setzt die Lösung des Kontaktproblems Druckkugel/Waferplatte entsprechend der Hertz'schen Theorie voraus. Die nebenstehende Abbildung zeigt die entstehende Kontaktfläche, die eine Kugel aus isotropem Material auf einer einkristallinen Platte mit kubischer Symmetrie induziert. Der ebenfalls eingezeichnete Kreis entsteht durch Isotropisierung der drei elastischen Konstanten in der Voigt'schen Näherung.

Gelöst wird das beschriebene System mit finiten Elementen, wobei Dreieckselemente mit unterschiedlichen Ansätzen für das Problem (2)₁, (3) und für das Problem (2)_{2, 3}, (5) auf einem Netz verwendet werden müssen. Das erstere Problem wird mit C²-Hermite'schen Ansatzfunktionen gerechnet, während wir für das zweite Problem C¹-Hermite'sche Ansatzfunktionen verwendet haben. Mit Simplexelementen ist das hier vorgestellte Plattenproblem auch in 3D nicht lösbar.

Bis zum Redaktionsschluss waren die Arbeiten noch nicht abgeschlossen.