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 Anfangs- und Randwertprobleme
Kinetische Behandlung von ausgewählten Anfangs- und Randwertproblemen für hyperbolische Systeme

   

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Herrmann , M. Kunik  

Kooperation: M. Junk (Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern)

Förderung: DFG: ,,Kinetische Lösungen für ausgewählte hyperbolische Anfangs- und Randwertprobleme``

Beschreibung der Forschungsarbeit: Für M Felder $u_{A}\left( t,x\right) ,$ $A\in \{1,2,...,M\}$,untersuchen wir Anfangs- und Randwertprobleme für hyperbolische Systeme der folgenden Gestalt:

(i) Wir betrachten einen Normalbereich $\Omega$ in der Raumzeit mit positiv orientiertem Flächenelement des Randes $\partial \Omega$und gehen von Bilanzgleichungen  für die Felder u_A aus, die lauten

$$\oint\limits_{\partial \Omega }\left( u_{A},F_{Ak}\right) d\vec{o}=\int\limits_{\Omega }P_{A}dtd^{3}x,$$ (1)

bzw. bei stetiger Differenzierbarkeit der Größen

$$\frac{\partial u_{A}}{\partial t}+\frac{\partial F_{Ak}}{\partial x_{k}}=P_{A}.$$ (2)

(ii) Die Flussdichten F_Ak und die Produktionsdichten P_A sind durch lokale Funktionen der Felder u_B gegeben, so dass die resultierenden Feldgleichungen hyperbolisch sind und darüber hinaus eine konkave Entropiedichte mit nichtnegativer Produktionsdichte implizieren.

(iii) Wir untersuchen ausschließlich Systeme der angegebenen Gestalt, die sich aus einer darunter liegenden kinetischen Theorie herleiten lassen und wo die Funktionen $F_{Ak}\left( u_{1},...,u_{M}\right)$ aus dem Maximum-Entropie-Prinzip  (MEP) folgen.

Im Berichtszeitraum haben wir folgende Systeme betrachtet:

• das Euler-System  für ein einatomiges ideales Gas , mit der Krook-Version der Boltzmann-Gleichung  als kinetischer Gleichung,
• das Momenten-System  für Brown'sche Teilchen , mit der Fokker-Planck-Gleichung  als kinetischer Gleichung,
• das 4-Feld-System für die Felder Energiedichte und Wärmefluss des Phonon-Bose-Gases , mit der Boltzmann-Peierls-Gleichung als kinetischer Gleichung.
• Erweiterungen des 4-Feld-Systems mit beliebig vielen Momenten der Phonon-Bose-Phasendichte .

Wir haben folgende Fragestellungen untersucht:

• Existieren die über das MEP bestimmten Phasendichten und die hieraus gebildeten Momente?

Auf der Grundlage der von M. Junk gemachten Beobachtungen lautet die Antwort: Für das einatomige ideale Gas , welches durch Momentensysteme  mit mehr als den ersten zehn Momenten beschrieben wird -- dies sind vier Momente in 1D -- hat das MEP keine Lösung. Dasselbe gilt für das Momentensystem, das auf der Fokker-Planck-Gleichung  aufgebaut ist. Hier haben wir herausgefunden, dass das MEP sogar in Gleichgewichtsnähe singulär ist.

Für das Phonon-Bose-Gas  hat das MEP Lösungen, und die MEP-Phasendichte konvergiert sogar punktweise gegen eine gegebene Phasendichte , wenn genügend Momente berücksichtigt werden.

• Lassen sich makroskopische Randdaten über Randvorgaben der Phasendichte realisieren?

Die Wechselwirkung der kinetischen Teilchen mit dem Rand wird über eine Fortsetzungsvorschrift (extension law) ausgegeben, die die Phasendichte auf dem Rand vollständig festlegt. Mit dieser neuen Methode konnten wir sogar instationäre Randwertaufgaben lösen, bei denen die Lage des Randes zunächst unbestimmt und selbst Bestandteil der Lösung ist. Die nebenstehende Abbildung zeigt beispielsweise die Evolution der Massendichte in einem Zylinder-Kolben-System , welches mit einem idealen Gas gefüllt ist. Die Bewegung des adiabaten Kolbens wird durch Schwerkraft und durch die Wechselwirkung zwischen Gasteilchen und Kolbenwand hervorgerufen. Die Farben repräsentieren das Dichtefeld entsprechend der Eulergleichungen, und wir beobachten, dass es aufgrund der Kolbenbewegung zu Stößen im Gas kommt.

• Wie lassen sich Lösungen von kinetischen Gleichungen vom Relaxationstyp direkt vergleichen mit Lösungen des zugehörigen hyperbolischen Momentensystems?

Die Lösung dieser Problemstellung basiert auf der folgenden Methode: Wir haben die von uns für Momentensysteme entwickelten kinetischen Schemata über das MEP derart verallgemeinert, dass hiermit die kinetische Gleichung selbst gelöst werden kann. Die Lösungen beider Problemklassen haben folglich die gleichen Darstellungen und können somit direkt verglichen werden.

Projektliteratur:

1. DFG-Projekt DR 401/2-2 Kinetische Behandlung von ausgewählten hyperbolischen Anfangs- und Randwertproblemen.
2. W. DREYER, M. JUNK, M. KUNIK, On the approximation of kinetic equations by moment systems, WIAS-Preprint No. 592, 2000, eingereicht.
3. W. DREYER, M. HERRMANN, M. KUNIK, Kinetic schemes and initial boundary value problems for the Euler system. WIAS-Preprint No. 607, 2000, eingereicht.

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