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Stable implied calibration of a multi-factor LIBOR model via a
semi-parametric correlation structure,
WIAS-Preprint No. 611, 2000.
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Bearbeiter: D. Baum , S. Jaschke , G. N. Milstein , O. Reiß , J. Schoenmakers , J.-H. Zacharias-Langhans
Kooperation: A. Bachi (Technische Universität Twente, Niederlande), J. Breckling (Insiders GmbH, Mainz), M. Broadie (Columbia University, New York, USA), B. Coffey (Merrill Lynch, New York, USA), H. Föllmer, U. Küchler, R. Stehle (Humboldt-Universität zu Berlin), H. Haaf (Münchener Rückversicherung AG, München), A. W. Heemink, H. van der Weide (Technische Universität Delft, Niederlande), Y. Kashtanov (Staatliche Universität St. Petersburg, Russland), P. Kloeden (Johann Wolfgang Goethe-Universität, Frankfurt am Main), J. Kremer, C. März (Bankgesellschaft Berlin AG, Berlin), O. Kurbanmuradov (Akademie der Wissenschaften Turkmenistans, Aschchabad), W. Schmidt (Deutsche Bank AG, Frankfurt am Main), M. Schweizer (Technische Universität Berlin), U. Wystup (Commerzbank AG, Frankfurt am Main)
Förderung: Bankgesellschaft Berlin AG, Rabobank, SWON (Holländische Forschungsgemeinschaft)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die Abteilung ,,Angewandte Finanzmathematik`` der Forschungsgruppe ,,Stochastische Algorithmen und Nichtparametrische Statistik`` befasst sich mit der stochastischen Modellierung von Prozessen in Finanzmärkten, der Bewertung von derivativen Instrumenten (Optionen) und Fragen des Risikomanagements für Finanzinstitute. Die Implementierung der Modelle sowie die Anwendung in der Praxis sollen in Zusammenarbeit mit Finanzinstituten erfolgen. Dabei ist zurzeit das Risikomanagement für Banken, insbesondere die aufsichtsrechtlich zugelassene Verwendung ,,interner Modelle``, das Hauptthema. Zusammen mit der Bankgesellschaft Berlin AG wird das BMBF-Projekt ,,Effiziente Methoden zur Bestimmung von Risikomaßen`` gestartet. Dieses Projekt wird von der Bankgesellschaft Berlin AG mitfinanziert. Ein weiteres Projekt ist die Erstellung eines Gutachtens zum konzernweiten Risikomanagementsystem der Bankgesellschaft.
In der finanzmathematischen Modellierung ist es zweckmäßig, über Methoden zur Bestimmung von Übergangswahrscheinlichkeiten von Diffusionen zu verfügen. Hierzu werden sowohl Monte-Carlo-Methoden im Zusammenhang mit der numerischen Integration von stochastischen Differentialgleichungen als auch statistische Ansätze benutzt. In diesem Rahmen wird mit den Projekten ,,Inferenz für komplexe statistische Modelle`` und ,,Numerik komplexer stochastischer Modelle`` zusammengearbeitet.
Die Forschung zum Thema ,,LIBOR Zinsderivate, Zinsmodelle und Kalibration`` wurde im Berichtszeitraum fortgesetzt. Die Methode zur Kalibration von LIBOR-Modellen wurde weiterentwickelt ([17]) und auf den RISK-Konferenzen in New York (Math Week) und Genf (ICBI) vorgestellt.
LIBOR Zinsderivate, Zinsmodelle und Kalibration (begonnen 1998, Bearbeiter: G. N. Milstein, O. Reiß, J. Schoenmakers).
Es wurde ein Multi-Faktor-LIBOR-Zinsmodell [3, 7, 9, 16] mit bestimmter Korrelationsstruktur vorgeschlagen. Dieses Modell wurde weiter untersucht und es wurde eine allgemeine Methode zur Erzeugung von parametrischen und semiparametrischen Korrelationsstrukturen entwickelt. Es wurde gezeigt, dass ein LIBOR-Markt-Modell ausgestattet mit derartigen Strukturen sich stabil gegen Marktpreise von ,,Caps`` und ,,Swaptions`` kalibrieren lässt ([17]). Darüber hinaus ist die dabei erhaltene Korrelationsstruktur konsistent mit einer historisch geschätzten Korrelationsmatrix. Die erzielten Ergebnisse wurden auf den RISK-Konferenzen in New York (Math Week) und Genf (ICBI) vorgestellt.
Das im vorherigen Jahr begonnene Forschungsthema zur einheitlichen Modellierung von Zinsen und Aktien wurde fortgesetzt. Ausgehend von einem vollständigen Aktienmarkt wird ein Zinsstrukturmodell erzeugt, das die in der Praxis beobachteten Korrelationen zwischen Zinsen und Aktien auf natürliche Weise beschreibt. Insbesondere wurde in diesem Modell eine interessante Beziehung zwischen dem kurzfristigen Zins, dem Aktienindex und dem ,,Market-Price of Risk`` gefunden ([14]).
Risikomanagement für Finanzinstitute (Bearbeiter: S. Jaschke, O. Reiß, J. Schoenmakers J.-H. Zacharias).
Von der Bank für Internationale Zusammenarbeit (Basle Committee) wurden Grundsätze entwickelt, die innerhalb eines Risikomanagementsystems einer Bank eingehalten werden müssen. Im Zentrum dieser Beschlüsse steht der Begriff ,,Value at Risk`` , der eine Kenngröße des Marktpreisrisikos eines Portfolios von Wertpapieren ist. Nach den Baseler Richtlinien berechnet sich aus dem Value at Risk das Eigenkapital, mit dem eine Bank dieses Risiko absichern muss. Entscheidend für die Nachfrage nach modernen mathematischen Methoden ist dabei, dass die Ergänzung der Baseler Richtlinien von 1995 die Verwendung so genannter ,,interner Modelle`` zulässt. Damit können Banken nicht nur über innovative Finanzprodukte, sondern auch über innovative Risikomodellierung konkurrieren. Die Richtlinie wurde 1997/98 in EU- und deutsches Recht umgesetzt und erlaubt deutschen Kreditinstituten die Verwendung interner Modelle seit Oktober 1998. Es gibt mehrere Anreize für die Verwendung interner Modelle, z. B.
In Zusammenarbeit mit der Bankgesellschaft Berlin AG wird ein Projekt bearbeitet, das Teilprobleme dieses Risikomanagementsystems löst. Ein solches System erfordert eine effiziente Bewertung aller Finanzinstrumente. Es wurden insbesondere verschiedene Algorithmen für die Behandlung von Wandelanleihen entwickelt, die sowohl praxisrelevante Probleme wie Dividendenzahlungen von Aktien oder Zinsstrukturkurven mit einbeziehen, als auch das Ausfallrisiko des Emittenten berücksichtigen.
Im Rahmen eines Risikomanagementsystems müssen neben den Preisen von Finanzinstrumenten auch deren Ableitungen, die so genannten Griechen, bestimmt werden. Durch Analyse der Symmetriebeziehungen in einem Finanzmarkt wurden Beziehungen zwischen den Optionssensitivitäten aufgedeckt, die u. a. zur Konsistenzprüfung von numerisch bestimmten Ableitungen verwendet werden können ([15]).
Im Zusammenhang mit der Vorlesung Risikomanagement (Angewandte Finanzmathematik), die von S. Jaschke im Wintersemester 2000/2001 an der Humboldt-Universität zu Berlin gehalten wird, wurde eine umfangreiche Sichtung der Literatur zum Risikomanagement für Finanzinstitute durchgeführt. Die praktische Implementierung eines konzernweiten Risikomanagementsystems erfordert ein umfassendes Verständnis der ökonomischen, statistischen, numerischen und IT-Infrastruktur-Aspekte des Gesamtproblems. Die im Laufe der Vorbereitung dieser Vorlesung gewonnenen Einsichten gestatten es, nicht nur die akademisch-mathematische, sondern auch die praktische Relevanz neuer Ideen oder offener Fragen abzuschätzen.
In Zusammenarbeit mit Prof. R. Stehle, Humboldt-Universität zu Berlin, wird (Oktober 2000 - Februar 2001) ein Gutachten über das konzernweite Risikomanagementsystem der Bankgesellschaft erstellt.
Im Rahmen eines bewilligten BMBF-Projekts wird in Zukunft die Risikobewertung großer Portfolios unter Verwendung von Monte-Carlo-Verfahren angestrebt [2, 4, 6]. Dabei werden innerhalb der Forschungsgruppe Synergien genutzt werden. So ist die Schätzung von Korrelationen einzelner Risikofaktoren notwendig [5, 13], die über Zeitreihenanalysen durchgeführt wird und dieses Projekt mit dem Projekt ,,Inferenz für komplexe statistische Modelle`` unserer Forschungsgruppe verbindet. Da in diesem Forschungsvorhaben Monte-Carlo-Methoden eingesetzt werden, wird mit dem Projekt ,,Numerik komplexer stochastischer Modelle`` kooperiert. Insbesondere werden Techniken zur Varianzreduktion (Importance Sampling, Stratified Sampling) eingesetzt. Die bekannten Methoden zur approximativen Bestimmung des Value at Risk wie Delta-Normal oder Delta-Gamma-Normal sollen dabei als Näherungslösung dienen.
Projektliteratur:
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Stable implied calibration of a multi-factor LIBOR model via a
semi-parametric correlation structure,
WIAS-Preprint No. 611, 2000.
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