Bearbeiter: A. Bovier
,
B. Gentz
Kooperation: G. Ben Arous (Ecole Polytechnique Fédérale,
Lausanne, Schweiz), N. Berglund (School of Physics, Georgia Institute of
Technology, Atlanta, USA und Eidgenössische Technische Hochschule
Zürich, Schweiz), V. Gayrard (Centre de Physique Théorique,
Marseille, Frankreich und Ecole Polytechnique Fédérale,
Lausanne, Schweiz) M. Klein, M. Eckhoff (Universität Potsdam)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die im Jahresforschungsbericht 1998 beschriebene Thematik der
stochastischen Dynamik
wurde intensiv weiterbetrieben und als thematischer Schwerpunkt ausgebaut,
wobei sich sowohl eine Reihe neuer
Resultate als auch zahlreiche neue Anwendungsperspektiven eröffnet haben.
Ganz erhebliche Fortschritte für den reversiblen Fall
wurden in Richtung auf ein besseres Verständnis des Zusammenhangs zwischen
der Spektraltheorie einerseits und dem
Phänomen der Metastabilität
andererseits in der Arbeit [1]
erzielt. Diese betreffen auf abstraktem
Niveau ganz allgemein Markov-Ketten, deren Zustandsraum in Gebiete zerfällt,
zwischen denen Übergänge sehr unwahrscheinlich sind, während andererseits
ausgezeichnete Punkte in jedem Gebiet stets ,,sehr schnell`` besucht werden.
Unter zusätzlichen Generizitätsannahmen kann dann jedem solchen
Gebiet eine
,,metastabile`` Austrittszeit 
zugeordnet werden, welche dann
mit großer Genauigkeit als Inverse eines der Eigenwerte der
Übergangsmatrix identifiziert wird. Die zugehörigen Eigenfunktionen
liefern darüber hinaus mit hoher Genauigkeit die zugehörigen
quasi-invarianten Verteilungen, bzw. metastabilen Maße.
Insgesamt wird damit dem Spektrum
der Übergangsmatrix nahe bei eins eine präzise
physikalische Interpretation
gegeben. Alle diese Größen können darüber hinaus durch relative
Kapazitäten der Elemente der metastabilen Menge ausgedrückt werden.
Damit liegen zum einem unter sehr allgemeinen Bedingungen strukturelle
Aussagen vor, die etwa in numerischen Verfahren genutzt werden
können
([3]).
Andererseits lassen sich über die analytisch recht gut
kontrollierbaren Kapazitäten (siehe [2]) in vielen
Beispielen präzise asymptotische Resultate beweisen. Daraus ergeben sich für
zahlreiche Probleme der stochastischen Dynamik neue Perspektiven. Dem wird
in den kommenden Jahren intensiv nachgegangen werden.
Die ursprüngliche Motivation dieser Arbeiten bestand darin, Methoden
bereitzustellen, mit denen auch die Besonderheiten der Dynamik komplexer
ungeordneter Systeme analysiert werden können. Von besonderem
Interesse sind hier Systeme, die das Phänomen des ,,Alterns``
aufweisen. In Kollaboration mit Ben Arous und Gayrard ([4])
haben wir uns
nunmehr dieser Problematik angenommen, wobei als erster Schritt das in
der physikalischen Literatur als paradigmatisch angesehene
Random-Energy Model (REM) betrachtet wurde. Die Schwierigkeiten, die hier
auftreten, beruhen darauf, dass die in [1] gemachten
Generizitätsannahmen an die Menge der metastabilen Zustände
gewissermaßen in maximaler Weise verletzt sind. So sind nämlich die
Austrittszeiten aus den einzelnen metastabilen
Zuständen nicht wohlsepariert, sondern eine unendliche Zahl
metastabiler Zustände koexistiert auf einer Zeitskala, und es gibt
keine scharfe Trennung dieser Zustände vom Rest. Diese Tatsache ist
nicht nur typisch, sondern geradezu kausal für das
Altern. Ziel ist
nun die analytische Kontrolle der effektiven Dynamik auf dieser
Zustandsmenge. Dabei zeigt sich, dass in der Tat die in
[1], [2]
entwickelten Techniken die wesentlichen Voraussetzungen zur Lösung
des Problems liefern.
Eine weitere relevante Fragestellung betrifft den Einfluss
von stochastischen Störungen auf
nichtautonome dynamische Systeme.
In einer ersten Arbeit ([5]) wurde ein System mit Pitchfork-Bifurkation
untersucht. Als interessanter Effekt ergibt sich hier die Reduktion der
so genannten
Bifurkationsverzögerung, die sich etwa
im Experiment störend auf
Messungen des Bifurka-
tionspunktes auswirkt.
Ein zweiter, derzeit in der physikalischen Literatur
viel diskutierter Effekt ist die so genannte
stochastische Synchronisation oder
stochastische Resonanz.
Hier betrachtet man periodisch getriebene dynamische
Systeme, bei denen aber ohne weitere Störung noch kein Wechsel des
Gleichgewichtszweiges stattfinden kann. Unter dem Einfluss
geeignet gewählter stochastischer Störungen kann es nun aber zu einer
Verstärkung der periodischen Störung kommen, die zu (periodischen)
Übergängen zwischen Gleichgewichten führt. Dieses Phänomen ist von
großer Relevanz etwa für die Analyse von Energiebilanzmodellen in der
Klimatologie. Eine Arbeit hierzu für den Fall eines periodisch modulierten
,,double-well``-Potentials ist fast abgeschlossen ([6]). Dabei
wurde wiederum der Zugang aus [5] gewählt, um das typische
pfadweise Verhalten des Prozesses zu kontrollieren. Bemerkenswert an diesen
Resultaten ist, dass im Gegensatz zu früheren (siehe etwa [7])
auch Rauschniveaus betrachtet werden können, die nicht so klein sind,
dass Methoden der ,,Großen Abweichungen`` greifen. Ebenso werden unnatürliche
Annahmen, wie die stückweise konstante Zeitabhängigkeit, vermieden.
Für die Zukunft verspricht diese Zugangsweise noch vielfältige,
auf Anwendungsprobleme zugeschnittene Resultate.
Projektliteratur:
- A. BOVIER, M. ECKHOFF, V. GAYRARD, M. KLEIN,
Metastability and
low-lying eigenvalues for reversible Markov chains, WIAS-Preprint No.
600, eingereicht.
-
,Metastability
in stochastic dynamics of disordered mean-field models,
Probab. Theory Related Fields, 119 (2001),
pp. 99-161 (Online-Publikation, Dezember 2000 unter DOI
10.1007/s004400000104).
- CH. SCHÜTTE,
Conformational dynamics: Modelling, theory,
algorithm, and application to biomolecules, Preprint
Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik (ZIB) SC 99-18, 1999.
- G. BEN AROUS, A. BOVIER, V. GAYRARD,
Aging in the
random energy model, in Vorbereitung.
-
N. BERGLUND, B. GENTZ,
Pathwise description of dynamic
pitchfork bifurcations with additive noise, WIAS-Preprint No. 604, 2000.
-
,A sample-paths approach to
stochastic synchronization: Stochastic resonance in a double-well
potential, in Vorbereitung.
- M. FREIDLIN,
Quasi-deterministic approximation, metastability and
stochastic resonance,
Phys. D, 137 (2000), pp. 333-352.
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