![\begin{align}
\oint_{\partial \Omega} \vec H
\cdot d\vec s & = \int_{\Omega}
j\o...
... \oint_{\cup \Omega} ([\mu] \vec H) \cdot d \vec
\Omega & = 0 \notag,\end{align}](../2000/img138.gif)
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Kooperation: W. Heinrich, M. Kunze, T. Tischler, H. Zscheile (Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik, Berlin)
Förderung: DFG: ,,Finite Integrationsmethode mit Tetraedergitter zur elektromagnetischen Simulation von Mikrowellenschaltungen``
Beschreibung der Forschungsarbeit: Der wachsende Markt für Mikrowellenschaltungen im Bereich der Mobilkommunikation sowie der Sensor- und Richtfunktechnik erfordert eine Weiterentwicklung der Modelle und der Simulationswerkzeuge. Im Berichtszeitraum wurde auf folgenden Gebieten gearbeitet:
Grundelemente der Schaltungen sind Wellenleiter und Diskontinuitäten.
Das Verhalten der Struktur wird durch eine Streumatrix
beschrieben, die aus der orthogonalen
Dekomposition des elektrischen Feldes an zwei benachbarten
Schnittebenen auf jedem Wellenleiter für eine Anzahl linear
unabhängiger Erregungen berechnet wird. Das elektromagnetische Feld
wird aus einem dreidimensionalen Randwertproblem
für die Integralform der
Maxwell'schen Gleichungen ermittelt:
![\begin{displaymath}
\vec D = [\epsilon] \vec E, \enspace \vec B = [\mu] \vec H,
...
...[\mu] = \mbox{diag} \left ( {\mu}_x, {\mu}_y, {\mu}_z \right ).\end{displaymath}](../2000/img139.gif){kind=small}
und 
sowie die elektrischen und magnetischen Flussdichten 
und
sind komplexe Funktionen der räumlichen Koordinaten.
ist die Kreisfrequenz und j2 = -1. Die Materialgrößen
![$[\epsilon]$](../2000/img145.gif){kind=small}
und ![$[\mu]$](../2000/img146.gif){kind=small}
(Permittivität und Permeabilität) sind
ortsabhängige diagonale komplexe Tensoren.
Für die numerische Behandlung wird das Berechnungsgebiet durch elektrische und magnetische Wände oder durch so genannte Absorbing-Boundary-Bedingungen (ABC) begrenzt, um offene Strukturen berechnen zu können. Als ABC werden Perfectly Matched Layers (PML) verwendet. Diese Schichten bestehen aus künstlichem Material mit komplexen anisotropen Materialeigenschaften.
An den Toren ist das transverse elektrische Feld gegeben durch die Superposition der transversalen Wellenleitermoden, die mit Hilfe eines Eigenwertproblems zu berechnen sind, bevor das Randwertproblem gelöst werden kann.
Die Diskretisierung der Maxwell'schen Gleichungen mit Hilfe nichtäquidistanter, versetzter Quadergitter ([1]) ergibt hochdimensionale lineare Gleichungssysteme mit schwach besetzten indefiniten komplexen symmetrischen Koeffizientenmatrizen.
Aufgrund der longitudinalen Homogenität der Wellenleiter wird von einem exponentiellen Ansatz für die longitudinale Richtung ausgegangen. Dieser Ansatz führt auf ein Eigenwertproblem mit schwach besetzter nichtsymmetrischer komplexer Matrix zur Berechnung der Moden ([2]).
Das endliche PML-Volumen verursacht auch virtuelle Moden, die nicht das wirkliche Verhalten des Wellenleiters widerspiegeln. Diese unerwünschten so genannten PML-Moden zeichnen sich durch ihre hohe Leistungsdichte in den PM-Schichten aus und werden aufgrund dieser Eigenschaft eliminiert. Die Berechnung aller Eigenwerte zur Bestimmung einiger weniger Ausbreitungskonstanten wird vermieden, indem für modifizierte Matrizen eine Folge von Eigenwertproblemen ([3]) mit Hilfe des Arnoldi-Verfahrens gelöst wird (siehe Abb. 1 und 2). Für hohe Frequenzen konvergierte im Falle der PML das bisher verwendete Zwei-Schritt-Verfahren ([4]) nicht.
Die hochdimensionalen Gleichungssysteme (mehrere Millionen Unbekannte) mit mehreren rechten Seiten werden simultan unter Verwendung von vier verschiedenen auf die Aufgabenstellung zugeschnittenen Vorkonditionierungstechniken (Addition des Gradienten der elektrischen Divergenzgleichung, Independent Set Orderings, Jacobi- und SSOR-Vorkonditionierung) mit Hilfe von Block-QMR-Methoden ([10]) gelöst.
Im Rahmen des oben genannten DFG-Projektes wurde die Diskretisierung der Maxwell'schen
Gleichungen auf Tetraedergittern und den zugehörigen Voronoizellen
auf der Basis eines Finite-Volumen-Verfahrens hergeleitet
([9]). Die Ergebnisse umfassen
graphentheoretische Betrachtungen mit Aussagen über die Anzahl der
Gleichungen und Variablen, die Wahl der Variablen,
die Eliminierung der magnetischen
Flussdichte aus dem Gleichungssystem, die Vorschriften zur Berechnung
der Koeffizientenmatrizen ohne Kenntnis von Nachbarschaftsbeziehungen
der vom Gittergenerator (siehe S. ![[*]](http://www.wias-berlin.de/misc/icons/cross_ref_motif.gif){kind=icon}
) erzeugten Tetraeder, den
Nachweis der Symmetrie der Koeffizientenmatrix und Ansätze zur
Behandlung von Sonderfällen (Lage des Umkugelmittelpunktes,
Verletzung der Delaunay-Eigenschaft der Gitter). Für spezielle
Schaltungsstrukturen (Mikrostreifenleitung mit
Wellenwiderstandssprung, Übergang Mikrostreifenleitung -
Koaxialleitung) wurden die mit dem Generator COG erzeugten Gitter
ausgewertet.
Mit Hilfe des Gittergenerators
lbg
werden Vergleichsrechnungen (Quader-/Tetraedergitter) durchgeführt
sowie der Einfluss von Gitterverfeinerungen untersucht.
Die Ergebnisse der Forschungsarbeiten wurden in den Publikationen [3-11] dargestellt.
Projektliteratur:
, On the computation of eigen modes for lossy microwave
transmission lines including Perfectly Matched Layer boundary conditions,
erscheint in: COMPEL, 20.
, Numerical simulation
of lossy microwave transmission lines including PML, in: Book of Abstracts,
Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE-2000), Warnemünde,
20-23 August 2000 (U. van Rienen, D. Hecht, H. W. Glock, Hrsg.),
Universität Rostock, 2000, p. 37.
, Simulation of lossy microwave circuits including PML, in: Final
Program and Abstracts, First SIAM Conference on Computational Science and
Engineering, Washington, DC, USA, September 21-24, 2000, p. 57.
, On the simulation of microwave transmission lines with PML, in:
Proceedings of the Fifth International Conference on Mathematical
and Numerical Aspects of Wave Propagation,
July 10-14, 2000, Santiago de
Compostela, Spain (A. Bermúdez, D. Gómez, Ch. Hazard,
P. Joly, J. E. Roberts, Hrsg.), Proceedings in Applied Mathematics,
102, SIAM, Philadelphia, 2000, pp. 906-910.
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