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Entscheidungstheorie für nichtparametrische Experimente

Bearbeiter: M. Nussbaum  

Kooperation: V.  Genon-Catalot (Universität Marne-la-Vallé, Frankreich), G. Golubev (Institut für Probleme der Informationsübertragung, Moskau) I. Grama (Stipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung, z. Zt. Gießen), M. Jähnisch (Stipendiat des Graduiertenkollegs ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``), J. Klemelä (Sonderforschungsbereich 373 ,,Quantifikation und Simulation Ökonomischer Prozesse``/Universität Helsinki)

Förderung: Sonderforschungsbereich 373 ,,Quantifikation und Simulation Íkonomischer Prozesse, Berlin; Graduiertenkolleg ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``, Berlin

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In der asymptotischen Theorie statistischer Experimente geht es um die Approximation allgemeiner Modelle durch einfachere; es entsteht eine Theorie, die Grundlagenprobleme der mathematischen Statistik mit Hilfe abstrakter Konzepte behandelt. Ein zentrales Thema der Forschungsgruppe in den letzten Jahren war in diesem Zusammenhang die asymptotische Äquivalenz   nichtparametrischer Experimente   zu Gaußschen Folgen im Sinne des Defizienzabstandes. Beim Problem der konstruktiven Realisierung konnte ein wesentlicher Fortschritt erzielt werden, indem es gelang, erstmals für ein nichtparametrisches schlechtgestelltes Problem einen Markov-Kern explizit anzugeben, der die asymptotische Äquivalenz realisiert [1]. Dies betraf den Übergang vom Modell unabhängiger identisch verteilter Beobachtungen auf das Einheitsintervall (,,Dichteschätzung``) zum Modell der Signalerkennung im Gaußschen weißen Rauschen. Ein verwandtes Resultat betrifft den Übergang vom Modell einer stationären Gaußschen Folge mit glatter Spektraldichte zum Modell der Signalerkennung [2], da hierbei einzelne Funktionale der Daten (z. B. empirische Korrelationskoeffizienten) aufgrund eines lokalen Grenzwertsatzes bereits asymptotische normale Dichten haben, hierbei kam eine Variante eines lokalen Grenzwertsatzes mit wachsender Dimension zur Anwendung.

Im Gegensatz dazu gelingt es bei der Beweismethodik über coupling von Likelihood-Prozessen   mittels funktioneller Ungarischer Konstruktion (KMT-Ungleichung) im allgemeinen nicht, den Markov-Kern in sinnvoller Weise explizit anzugeben. Jedoch führt zur Zeit noch allein dieser nichtkonstruktive Ansatz zu optimalen Resultaten in Bezug auf den Parameterraum (Glattheitsgrenze 1/2, vgl. Brown, Zhang [3]). Das in [4] bewiesene Resultat über die Gaußsche Approximation eines nichtparametrischen Regressionsmodells, das aus einer parametrischen Verteilungsfamilie durch zeitliche Variation des Parameters entsteht, basiert auf der nichtkonstruktiven Likelihood-Methodik. Eine Verallgemeinerung auf ein in Zeit und Verteilung nichtparametrisches Regressionsmodell ist der Inhalt der nunmehr eingereichten Dissertationsschrift [5].

Die Resultate von [4] für ein Regressionsmodell aus unabhängigen Beobachtungen fanden eine überraschende Anwendung, indem ein Modell diskreter Beobachtungen eines Markovschen Diffusionsprozesses mit kleinem Rauschen [6] im Sinne statistischer Äquivalenz hierauf zurückgeführt werden konnte. Dieses Ergebnis knüpft an ein früher erzieltes Resultat zur Diskretisierung von Diffusionsmodellen an (siehe [7]).

Projektliteratur:

  1.  J. KLEMELÄ, M. NUSSBAUM, Constructive asymptotic equivalence of density estimation and Gaussian white noise, Discussion paper No. 53, Sonderforschungsbereich 373, Humboldt-Universität zu Berlin, 1998.
  2.  G. GOLUBEV, M. NUSSBAUM, Asymptotic equivalence of spectral density and regression estimation, WIAS-Preprint No. 420 , 1998.
  3.  L.  D. BROWN, C.-H. ZHANG, Asymptotic nonequivalence of nonparametric experiments when the smoothness index is $\frac{1}{2}$, Ann. Statist., 26 (1998), No. 1, pp. 279-287.
  4.  I. GRAMA, M. NUSSBAUM, Asymptotic equivalence for nonparametric generalized linear models, Probab. Theory Related Fields, 111 (1998), pp. 167-214.
  5.  M. JÄHNISCH, Asymptotische Äquivalenz für ein Modell unabhängiger nicht identisch verteilter Daten, Dissertationsschrift, eingereicht bei der Humboldt-Universität zu Berlin, 1998.
  6.  V. GENON-CATALOT, C. LARéDO, M. NUSSBAUM, A diffusion representation of the nonparametric iid experiment on an interval, WIAS-Preprint, No. 413 , 1998.
  7.  G. MILSTEIN, M. NUSSBAUM, Diffusion limits for nonparametric autoregression, Probab. Theory Related Fields, 112 (1998), pp. 167-214.


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LaTeX typesetting by I. Bremer
7/30/1999