, Logarithmic Sobolev inequalities for finite Markov
chains, Ann. Appl. Probab., 6 (1996), No. 3, pp. 695-750.
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Bearbeiter: P. Mathé
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Schwerpunkt der Arbeit war die Untersuchung der Konvergenzgeschwindigkeit von Markov Chain Monte-Carlo-Verfahren zur numerischen Integration. In diesem Kontext ist der Zustandsraum der Markovketten im allgemeinen nicht endlich, so daß die Techniken, die in den wegweisenden Arbeiten von Diaconis et. al, [2], bereitgestellt wurden, nicht übertragbar sind. Beim Übergang von diskreten zu allgemeineren Zustandsräumen offenbart sich, daß geeignete Techniken der Funktionalanalysis eingesetzt werden müssen, um zu Aussagen der asymptotischen Varianz zu gelangen. Als geeigneter Ersatz der Ergodizität, die im diskreten ausreicht, um entsprechende Aussagen zu treffen, erweist sich die gleichmäßige Ergodizität, die bereits von Doeblin, siehe [3], untersucht wurde. Dadurch gelang es, ohne Kompaktheitsannahmen Darstellungen der asymptotischen Varianz herzuleiten [4]. Auch braucht nicht a priori angenommen zu werden, daß die Markovketten stationär sind.
Als interessante Anwendung wurden Metropolisverfahren untersucht, vgl. [5]. Faßt man Metropolisketten als Störungen der unterliegenden Ketten auf, dann führen Vergleichstechniken, die im diskreten von Diaconis und Saloff-Coste [1] eingebracht wurden, zu Abschätzungen der Konvergenz. Die dazu nötigen Voraussetzungen an die Markovketten sind allerdings zu stark, um die praktisch relevanten Fälle zu erfassen.
Projektliteratur:
, Logarithmic Sobolev inequalities for finite Markov
chains, Ann. Appl. Probab., 6 (1996), No. 3, pp. 695-750.
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