Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Dr. Thomas Koprucki (WIAS Berlin)

In den Anwendungen treten häufig Probleme auf, die auf mathematische Modelle mit sehr unterschiedlichen Zeit- oder Raumskalen führen. Dies drückt sich meist in der Existenz eines kleinen Parameters (nennen wir ihn ε) aus, der einen singulären Charakter aufweist und daher nicht einfach gleich Null gesetzt werden kann. Die Lösung für ε=0 unterscheidet sich wesentlich von der Lösung mit kleinem aber nicht verschwindenden Parameter und allzu leicht führt der Einsatz von Standardmethoden zur Lösung derartiger Gleichungen zu unsinnigen Ergebnissen.

Zur Behandlung solcher sog. singulär gestörter Probleme hilft die asymptotische Analysis weiter. Das ursprüngliche Problem wird durch immer genauere, gut zu behandelnde Probleme ersetzt. Es existieren einerseits spezielle analytische Methoden (insbesondere die 'Matched Asymptotics' oder die Multiskalenmethode), andererseits erfordert die effiziente Generierung numerischer Lösungen speziell angepaßte Methoden, weil sonst der Aufwand mit kleiner werdendem ε (zu) schnell wächst. In der Vorlesung wird speziell auf diskrete Methoden der asymptotischen Analysis eingegangen.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab, Scilab bzw. Octave empfohlen. Außerdem soll das MATLAB-Programmpaket SBVP1.0 (Lösung von singulär gestörten gewöhnlichen Differentialgleichungen) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden. Weiterhin soll demonstriert werden, wie man ein symbolisches Programmpaket wie z.B. MAPLE in der asymptotischen Analysis einsetzen kann.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten der Techno- und Wirtschaftsmathematik als auch für den Diplomstudiengang Mathematik geeignet und ist Teil der Spezialisierungssequenz Differentialgleichungen und Modellierung der AG Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen.

Themen der 2-stündigen Vorlesung:

1. Übersicht, Ordnungssymbole, Beispiele
2. Grundlagen asymptotischer Entwicklungen, asymptotische Folgen, Beispiele zu Ein- und Mehrskalenentwicklungen
3. Grenzschichttheorie und das Matching von asymptotischen Entwicklungen
4. Anwendungen der Grenzschichttheorie
5. Die Mehrskalenmethode
6. Die Mehrskalenmethode für partielle Differentialgleichungen
7. WKB-Approximation
8. Die Methode der Homogenisierung

Literatur:

• N. Bleistein und R.A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Holt, Rinehart and Winston, 1975.
• A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover Publications, 1956.
• A. Georgescu, Asymptotic Treatment of Differential Equations, Chapman & Hall, 1995.
• S. Handrock, Störungstheorie und ihre Anwendung, Vorlesungsskript, TU Chemnitz, 2003.
• E.J. Hinch, Perturbation Methods, Cambridge University Press, 2000.
• M.H. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer, 1995.
  • Solutions to exercises, Errata 1st printing, Errata 2nd printing
• J. Kevorkian und J.D. Cole, Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, Applied Mathematical Sciences 114, 1996.
• P.A. Lagerstrom, Matched Asymptotic Expansions, Springer, Applied Mathematical Sciences 76, 1988.
• A. Meister und Th. Sonar, Asymptotische Entwicklungen und ihre Anwendung in technischen Problemstellungen, unkorrigiertes Manuskript, Universität Hamburg, 1997.
• J.A. Murdock, Perturbations : Theory and Methods, SIAM 1999.
• J.D. Murray, Asymptotic Analysis, Applied Mathematical Sciences Vol. 48, Springer, 1992.
• R.E.O Malley, Jr., Singular Perturbation Methods for Ordinary Differential Equations, Springer, 1991.
• R.H. Rand und D. Armbruster, Perturbation Methods, Bifurcation Theory and Computer Algebra, Springer, 1987.
• C. Schmeiser, Angewandte Mathematik, Vorlesungsskript, Institut für Angewandte und Numerische Mathematik, TU Wien.
• J. Struckmeier, Tutorial on Asymptotic Analysis I, Berichte der Arbeitsgruppe Technomathematik, Nr. 108, Universität Kaiserslautern, 1994.
• M. van Dyke, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, Academic Press, 1972.
• F. Verhulst, Methods and applications of singular perturbations - boundary layers and multiple timescale dynamics, Springer, 2005.
  • Corrections and Comments
• R.B. White, Asymptotic Analysis of Differential Equations, World Scientific, 2005.

Literatur zur Numerik:

• M.K. Kadabajoo und K.C. Patidar, A survey of numerical techniques for solving singularly perturbed ordinary differential equations, Appl. Math Comput. 130 (2002), 457-510
• H.-G. Roos, M. Stynes und L. Tobiska, Numerical Methods for singularly perturbed differential equations, Springer, 1996.

Ergänzende und weiterführende Literatur: (Mathematische) Grundlagen der Strömungslehre:

• A.J. Chorin und J.E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer, 2000.
• M. Feistauer, Mathematical Methods in Fluid Dynamics, Longman Scientific & Technical, 1993.
• C. Marchioro und M. Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous fluids, Springer, 1994.
• H. Schlichting und K. Gersten, Grenzschicht-Theorie, Springer, 1997.
• W. Schneider, Mathematische Modelle der Strömungsmechanik, Vieweg, 1978.
  

Vorkenntnisse: Analysis I - II, gewöhnliche Differentialgleichungen.

Übungen: 1-stündig (findet jede 2. Woche statt)

Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten vier bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.

geplante Fortsetzungsveranstaltung im Sommersemester 2010: Modellierung, Analysis und Numerik in der Halbleiter-Technologie

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Last modified: 2009-09-24 by Thomas Koprucki

Contact: koprucki@wias-berlin.de