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Multiskalen-Vorkonditionierer und optimale Randelement-Löser für die Laplace-Gleichung

Bearbeiter: S. Prößdorf

Kooperation: B. N. Khoromskij (Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Rußland)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt werden einige Strategien zur Konstruktion asymptotisch optimaler Algorithmen zur Lösung von Randintegralgleichungen für innere und äußere Randwertprobleme für die Laplace-Gleichung über polygonalen Gebieten entwickelt und analysiert. Das innere Dirichlet- oder Neumann-Problem ist bekanntlich equivalent zur direkten Behandlung der Dirichlet-Neumann-Abbildung oder deren Inversen, d. h. des Poincaré-Steklov (PS)-Operators. Zur Konstruktion eines schnellen Algorithmus für den diskreten PS-Operator wenden wir, im Falle von polygonalen Gebieten, die aus Rechtecken und regulären Dreiecken zusammengesetzt sind, den Multiskalen-Vorkonditionierer nach Bramble-Pasciak-Xu auf das equivalente Interface-Problem in an. Ein schneller Matrix-Vektor-Multiplikationsalgorithmus basiert auf der Frequenz-Abschneidetechnik, angewandt auf die lokalen Schur-Komplemente. Das vorgeschlagene Kompressionsschema für den diskreten inneren PS-Operator hat die Komplexität , , mit einem Speicherbedarf von , wobei N die Anzahl der Freiheitsgrade auf dem polygonalen Rand ist. Im Falle des äußeren Problems schlagen wir eine Modifikation der direkten Standard-Randelementmethode vor, deren Implementierung sich reduziert auf eine Wavelet-Approximation entweder des Einfachschichtpotentials oder des hypersingulären harmonischen Potentials sowie auf eine Matrix-Vektor-Multiplikation für den diskreten inneren PS-Operator.

Projektliteratur:

  1. B. N. KHOROMSKIJ, S. PRÖSSDORF, Multilevel preconditioning on the refined interface and optimal boundary solvers for the Laplace equation, Advances in Computational Mathematics 4 (1995), 331--355.


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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996