Numerische Lösung strukturierter DAE-Systeme

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Forschungsgegenstand sind parallelisierbare numerische Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen großer Systeme von Algebro-Differentialgleichungen (DAE)

, , gegeben, gesucht, wie sie etwa bei der Prozeßsimulation chemischer Anlagen oder in der Schaltkreissimulation auftreten.

Solche Systeme sind oftmals schon durch die Modellierung entsprechend ihrer funktionellen Bestandteile in Teilsysteme strukturiert. Die von uns betrachteten Block-Waveform-Iterationsverfahren [1] weisen günstige Voraussetzungen für eine Parallelisierung auf der Ebene der DAE-Systeme auf. Sie sind jedoch nur für solche Aufgabenklassen anwendbar, für die eine für diese Verfahren geeignete Blockzerlegung bestimmt werden kann. Für DAE-Systeme, bei denen aufgrund starker Kopplungen zwischen den Teilsystemen keine solche Blockzerlegungen existieren, betrachten wir parallelisierbare strukturierte Newton-Verfahren. Hierbei werden die DAE-Systeme nach ihrer Zeitdiskretisierung in geeignet erweiterte nichtlineare Gleichungssysteme mit spezieller Blockstruktur überführt [2] und nach Linearisierung über die parallele Behandlung linearer Teilgleichungssysteme gelöst.

Bei einstufig strukturierten Verfahren werden die inneren Variablen und die äußeren Variablen der Teilsysteme bestimmt und das um Identifikationsgleichungen für äußere Variablen erweiterte System

erzeugt. Wir partitionieren dann so, daß regulär ist. Dabei erfolgt die Auswahl der Gleichungen mit Hilfe eines Algorithmus zur Pivotwahl in den überbestimmten Teilmatrizen . Die Bestimmung der Inkremente für einen Schritt des Newtonverfahrens erfolgt in 3 Teilschritten:

(i)

Für : Bestimme die Vektoren und sowie die Matrizen und aus:

(ii)

Bestimme mit und die äußeren Variablen aus:

(iii)

Für Berechne die inneren Variablen .

Einstufig strukturierte Newtonverfahren wurden von uns implementiert und an praxisrelevanten Beispielen getestet. Sie haben sich dabei als moderat parallele Verfahren erwiesen.

Projektliteratur:

1. F. GRUND, J. BORCHARDT, D. HORN, T. MICHAEL, H. SANDMANN, Differential-algebraic systems in the chemical process simulation, Proceedings Workshop Scientific Computing in der Verfahrenstechnik, zur Veröffentlichung 1995 eingereicht.

2. J. BORCHARDT, L. BRÜLL, F. GRUND, D. HORN, F. HUBBUCH, T. MICHAEL,
   H. SANDMANN, R. ZELLER, Numerische Lösung großer strukturierter DAE-Systeme in der chemischen Prozeßsimulation, zur Veröffentlichung 1995 eingereicht.

3. J. BORCHARDT, F. GRUND, D. HORN, M. UHLE, MAGNUS-Mehrstufige Analyse großer Netzwerke und Systeme, Report No. 9, WIAS, 1994.