next up previous contents
Next: Approximationstheorie stochastischer numerischer Up: Projekte Previous: Modellierung und numerische

Stabilität und schwache Approximation in der Numerik stochastischer Differentialgleichungen

Bearbeiter: N. Hofmann, H. Schurz

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SDEs) sind zahlreiche numerische Verfahren bekannt, vergleiche z.B. [1]. In [3] und [4] konnte die Entwicklung dieser Theorie durch eine systematische Stabilitätsanalyse für numerische Lösungen fortgesetzt werden. Zunächst wurden implizite Verfahren mit niedriger Konvergenzordnung bezüglich der Testklasse linearer SDEs mit multiplikativem Rauschen im , die wir als Linearisierung entsprechender nichtlinearer SDEs in einem stationären Punkt interpretieren, untersucht. Wir analysierten das Quadratmittel--Stabilitätsverhalten der impliziten Milstein-Methoden und der balancierten impliziten Methoden (zur Quadratmittelkonvergenz siehe [2]) bezüglich der Nullösung. Dabei erwies sich die Stabilität der impliziten Euler-Methoden als eine notwendige Bedingung für die Stabilität der impliziten Milstein-Methoden. Dies ist insofern bemerkenswert, als daß die Milstein-Methoden eine höhere Ordnung der Quadratmittelkonvergenz als die Euler-Methoden aufweisen. Desweiteren konnte eine hinreichende Bedingung für die Quadratmittelstabilität der impliziten Euler-Methoden gefunden werden. Außerdem ist die Korrektur mit stochastischen Termen in den balancierten Methoden für deren Quadratmittelstabilität nicht notwendig. Alle bisher genannten numerischen Methoden folgen dem Prinzip der monotonen Inklusion der Quadratmittel-Stabilitätsbereiche. Die beschriebenen Resultate reduzieren erheblich den Aufwand bei der Konstruktion ,,stochastisch-stabiler`` numerischer Verfahren, da eine stochastische Korrektur nun entfällt bei gleichzeitiger Wahrung der Stabilität der zweiten Momente.

Eine ähnliche Analyse konnte für die Klasse von linearen SDEs mit additivem Rauschen durchgeführt werden. Allerdings sind stationäre Lösungen dieser SDEs wieder Zufallsgrößen mit entsprechenden Charakteristika. Dadurch ergibt sich eine größere Vielzahl von stochastischen Stabilitätskonzepten als in der Deterministik. Es ist dann naheliegend, numerische Verfahren stärker im Hinblick auf die Erhaltung stochastischer Charakteristika zu untersuchen. Entsprechende Definitionen zur numerischen Erhaltung stationärer Lösungen als auch eine erste Analyse der einfachsten Verfahren bezüglich diesen Kriteriums sind in [4] zu finden.

Ausgehend von einer asymptotischen Entwicklung des globalen Fehlers für schwache Taylor-Approximationen beliebiger Ordnung konnte ein Verfahren zur Ordnungs-und Schrittweitensteuerung entwickelt werden, das sich auf Ideen von Deuflhard bzgl. Anwendung der Extrapolationsmethode (siehe [5]) stützt. Die theoretischen Grundlagen und die Beschreibung des resultierenden Algorithmus bilden den Hauptteil der im September fertiggestellten Dissertation (siehe [6]). Die Arbeit [6] enthält weiterhin einen Zugang zur systematischen Konstruktion von schwachen Verfahren, die sich ausschließlich diskreter Zufallsvariablen bedienen.

Projektliteratur:

  1. P.E. Kloeden, E. Platen, H.Schurz: Numerical solution of stochastic differential equations through computer experiments, Universitext, Springer, Berlin, 1994.

  2. G.N. Milstein, E. Platen, H. Schurz: Balanced implicit methods for stiff stochastic systems, Statistics Research Report No. SRR 029-94, Australian National University, Canberra, 1994.

  3. H. Schurz: Asymptotical mean square stability of an equilibrium point of some linear numerical solutions with multiplicative noise, Preprint No. 108, WIAS, Berlin, 1994.

  4. H. Schurz: A note on pathwise approximation of stationary Ornstein--Uhlenbeck processes with diagonalizable drift, Preprint No. 112, WIAS, Berlin, 1994.

  5. P. Deuflhard: Order and stepsize control in extrapolation methods, Num. Math. 41 (1983), pp.399-422.

  6. N. Hofmann: Beiträge zur schwachen Approximation stochastischer Differentialgleichungen, Dissertation, Humboldt-Universität Berlin, 1994.



next up previous contents
Next: Approximationstheorie stochastischer numerischer Up: Projekte Previous: Modellierung und numerische



BREMERO
Wed Apr 12 21:47:02 MDT 1995