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Fehleranalysis von Randintegralmethoden für Gebiete mit Ecken

Bearbeiter: K. Bühring, J. Elschner, S. Prößdorf, A. Rathsfeld

Kooperation: I.G. Graham (University of Bath), Y. Jeon (A Jou University, Korea), I.H. Sloan (University of New South Wales), E. Stephan (Universität Hannover), G. Chiocchia, G. Monegato, D. Tordella (Politecnico di Torino)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Methode der Randelemente, auch Randintegralmethode genannt, besteht in der Rückführung von Randwertproblemen auf Integralgleichungen über dem Rand des betrachteten Gebietes und deren Lösung mittels Approximationsverfahren. Wichtige Probleme aus den Ingenieurwissenschaften wie die Berechnung von Temperaturfeldern, von magnetischen und elektrischen Feldern sowie des Potentialflusses von Flüssigkeiten führen auf die klassischen Integralgleichungen der Potentialtheorie: die Symmsche Integralgleichung, die Doppelschichtpotentialgleichung und die hypersinguläre Integralgleichung für Dirichlet-- und Neumann--Probleme, Integralgleichungssysteme für das gemischte Problem. Selbst im Fall ebener Probleme in Gebieten mit Ecken gibt es gegenwärtig noch zahlreiche offene Fragen bei der theoretischen Begründung und numerischen Realisierung von Randelementmethoden.

Im Rahmen dieses Projektes wurden zunächst Kollokationsverfahren mit Splines für die Symmsche Integralgleichung auf Kurven mit Ecken theoretisch begründet und numerisch getestet [2]. Diese Tests bestätigten die optimale Konvergenzordnung dieser Verfahren und ergaben interessante Effekte der Superkonvergenz bei der Berechnung von Funktionalen über der Lösung, die anschließend in [5] mathematisch begründet und auf eine größere Klasse von semi--diskreten Näherungsverfahren (Qualokation) verallgemeinert wurden. In [4] gelang es erstmalig, ein stabiles und optimal konvergentes Kollokationsverfahren (mit trigonometrischen Ansatzfunktionen) für das gemischte Randwertproblem in einem ebenen Gebiet mit Ecken zu entwickeln. Besonderes Augenmerk wurde auf die Konvergenzanalysis und Konvergenzbeschleunigung der praktisch relevanten vollständig diskreten Approximationsverfahren gelegt [1], [3], [6]. Insbesondere wurde in [1] die Stabilität von Quadraturverfahren für die hypersinguläre Gleichung über dem Intervall gezeigt und in [6] ein neues Extrapolationsverfahren zur Konvergenzbeschleunigung des Quadraturverfahrens für die Doppelschichtpotentialgleichung abgeleitet. Auch die Resultate aus [1] und [6] wurden durch numerische Tests bestätigt. Die in [7] gewonnenen Fehlerabschätzungen in gewichteten C--Normen für die diskrete Kollokationsmethode mit orthogonalen Polynomen als Ansatzfunktionen für die verallgemeinerte Tragflügelgleichung wurden verschärft und auf die verallgemeinerte Prandtl'sche Gleichung im Falle gekrümmter Tragflächen unter Berücksichtigung physikalisch relevanter Zusatzkerne (siehe auch [8]) angewandt. Numerische Tests bestätigen die hohe Effizienz dieser Methode gegenüber anderen, von Ingenieuren bisher bevorzugten Verfahren. (Eine Publikation dazu ist in Vorbereitung.)

Förderung: ARC--Programm von British Council und DAAD (bis Ende 1993), Australian Research Council (1994)

Projektliteratur:

  1. K. Bühring: A quadrature method for the hypersingular integral equation on an interval. WIAS--Preprint Nr. 114 (1994)
  2. J. Elschner, I.G. Graham: An optimal order collocation method for first kind boundary integral equations on polygons. Numer. Math. (erscheint)
  3. J. Elschner, I.G. Graham: Quadrature methods for Symm's integral equation on polygons. Math. Comp. (eingereicht)
  4. J. Elschner, Y. Jeon, I.H. Sloan, E.P. Stephan: The collocation method for mixed boundary value problems on domains with curved polygonal boundaries. (in Vorbereitung)
  5. J. Elschner, S. Prößdorf, I.H. Sloan: The qualocation method for Symm's integral equation on a polygon. WIAS--Preprint Nr. 119 (1994)
  6. A. Rathsfeld: Error estimates and extrapolation for the numerical solution of Mellin convolution equations. WIAS--Preprint Nr. 125 (1994)
  7. G. Monegato, S. Prößdorf: Uniform convergence estimates for a collocation and a discrete collocation method for the generalized airfoil equation. Contributions in Numerical Mathematics (ed. R.P. Agarwal), 2, World Scientific Series in Applicable Analysis, 285--299 (1993)
  8. S. Prößdorf, D. Tordella: On an extension of Prandtl's lifting line theory to curved wings. Impact of Computing in Science and Engineering 3, 192--212 (1991)



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BREMERO
Wed Apr 12 21:47:02 MDT 1995