Funktionalanalytische Methoden in der klassischen Physik. Nichtlineare Theorie (SoSe23)

Modulbeschreibung (konkrete Themen sind weiter unten aufgelistet):

Ort und Zeit

• Vorlesung wöchentlich Dienstags 09:00 bis 11:00 , beginnend mit dem 18.04.2023
• Übung 2-wöchentlich Dienstags 11:00 bis 13:00 , beginnend mit dem 02.05.2023
• Ort: Johann von Neumann-Haus - Raum 1.012 Rudower Chaussee 25 (RUD25)

Prüfungszeit (offiziell). Ort: WIAS

27.7., 12.10., und nach Absprache

Skript

• Quadratische Extremalaufgaben
• Mathematische Grundlagen. Banach- und Hilberträume
• Mathematische Grundlagen. Konvexe Analysis
• Lagrangeformalismus
• Bilanzgleichungen
• Variationsrechnung
• Dynamik von Teilchen (Massepunkten)
• Dynamik von Wellen (Wellenfronten) (ergänzt)
• Aufgaben mit Lösungen

Übungsaufgaben (+ bedeutet erledigt)

• + Beweise, daß für jede Funktion F(x,y) zweier beliebiger Variabler x und y das schwache Dualitätsprinzip gilt, d.h., dass gilt:
  max_x min_y F(x,y) <= min_y max_x F(x,y)
• + Berechne auf zwei Weisen das (bedingte) Minimum der Funktion zweier reeller Veränderlicher F(x,y) = (x^2+y^2)/2 unter der Bedingung, dass für x,y gilt: a x + b y = c (mit reellen Parametern a,b,c):
  1) Durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Funktion.
  2) Mit der Lagrangemethode.
• + Ein n-dimensionaler (rechtwinkliger) Simplex ist der Körper der von den Vektoren (0,...,0), (a_1,0,...,0), (0,a_2,...,0), ..., (0,0,...,a_n) aufgespannt wird. Berechne seine Höhe mit der Lagrangemethode. Welche Bedeutung hat der Lagrangemultiplikator?
  Beweise den Satz des Pythagoras: A^2 = A_1^2+...+A_n^2, wobei A die (n-1)-dimensionale "Grundfläche" und A_i die (n-1)-dimensionale "Seitenfläche" des Simplex, die nicht a_i enthält, ist.
• + Gegeben sei der Operator (die Matrix) A = { { -a,a},{b,-b} }. Berechne seinen adjungierten im Hilbertraum L_2 über dem Maß {b,a}.
• + Wir betrachten 4 Massen, die mit 6 Federn (jede mit jeder) verbunden sind. Berechne die Matrizen D, C und A = D* C D.
  Welche Bedeutung hat D*?
  Hängt A von der Verteilung der +1 und -1 in D ab?
• + Finde x_0, y_0, min_y L, max_x L und max_x min_y L für das allgemeine quadratische Funktional. Siehe Skript S.22/23.
• + Eine Aufgabe zur Verdeutlichung der Rolle des quadratischen Terms in der Lagrangefunktion (zur Frage eines Studenten warum Lagrange regularisierte Probleme betrachtet hat).
  Es sei X=R_1, Y=R_2, D^*=(a1 a2) (also D hat eine Spalte und zwei Zeilen), b=(b1 b2)^* (Spaltenvektor), f=f (Skalar), C = ( (c,0), (0,c) ) (Diagonalmatrix mit c auf der Diagonalen).
  1) Berechne x0, y0
  2) Wir setzen c=0 (kein quadratischer Term). Warum läßt sich mit der Lagrangemethode nur x0 aber nicht y0 bestimmen? Welche Zusatzbedingung muß gesetzt werden, damit auch y0 bestimmt werden kann?
• + Bereche L aus L_0. (Siehe S. 81 im Skript)
• + Wann definiert die Matrix A = { {a,b},{c,d} } ein faires Spiel?
• Es sei L eine n x m Matrix mit Einträgen aus [0, 1]. Beweise (falls es stimmt, das ist noch eine Vermutung, die aber mit höchster Wahrscheinlichkeit stimmt), daß der Anteil der Matrizen, die das Minimax-Theorem erfüllen m!n!=(n + m - 1)! ist.
• + An einer Badewanne sind n Hähne installiert. Jeder einzelne füllt die Wanne in T_i Minuten. Wie lange dauert es, bis die Wanne gefüllt ist, wenn alle Hähne geöffnet werden?
• Angenommen, es stecken zwei (drei, vier, ..., n) Nägel in der Wand. Wie kann man den Faden eines Bildes um diese Nägel schlingen, dass das Bild sicher an der Wand hängt, und zu Boden fällt, wenn einer der Nägel, egal welcher, herausgezogen wird?
• + Beweise die Jensensche Ungleichung für n Punkte ausgehend von der Jensensche Ungleichung für 2 Punkte (Definition der Konvexität einer Funktion).
• + Beweise, daß ein symmetrischer Operator A (in Form seiner dualen Paarung ) vollständig definiert ist, wenn er auf der Diagonalen definiert ist.
• + (Siehe 3.2.12, S.53 im Skript) Es seien A, B, C symmetrische, positive, invertierbare Operatoren, F_A(x) = 1/2 , F_B, F_C analog, seien quadratische Funktionale. Beweise, daß F_A * F_B = F_C (d.h., daß die infimale Faltung zweier quadratischer Funktionale wieder ein quadratisches Funktional ist).
  Berechne C aus A und B auf zwei Weisen:
  1) Durch Berechnung von F_A * F_B
  2) Durch Berechnung von (F_A^* + F_B^*)^*
  Bemerkung: Die Sterne seien 6-zackige.
  Lösung: 1) ergibt C = A (A+B)^(-1) B, 2) ergibt C = (A^(-1) + B^(-1))^(-1)
  Folglich ist das eine Möglichkeit, (A^(-1) + B^(-1))^(-1) mit nur einer Invertierung darzustellen, nämlich als( A^(-1) + B^(-1))^(-1) = A (A+B)^(-1) B
• + Fortsetzung der letzten Aufgabe:
  Es seien A, B, C, D symmetrische, positive, invertierbare Operatoren/Matrizen.
  Vereinfache (A^(-1) + B^(-1) + C^(-1))^(-1), so daß höchstens zwei Invertierungen erforderlich sind.
  Vereinfache (A^(-1) + B^(-1) + C^(-1) + D^(-1))^(-1), so daß höchstens drei Invertierungen erforderlich sind.
• + Beweise, daß stets F^** <= F (Siehe 3.2.4, S.50 im Skript)
• + Es sei F:R->R eine stückweise affine Funktion. Was könnte die kanonische Darstellung für so eine Funktion in Lichte der Dualitätstheorie. Genauer: Für welche Darstellungform ist die Legendretransformation besonders leicht zu berechnen.
• + Es sei F:R->R, glatt und T_y(x) die Tangente an F im Punkt F(y). Beweise: sup_y T_y(x) = F(x)
• + Ein Fahrzeug fährt ohne Gegen- und Rückenwind mit der Geschwindigkeit v eine Strecke L hin und zurück.
  1) Wie ändert sich die benötigte Zeit, wenn Gegen- bzw Rückenwind mit einer Geschwindigkeit v_0 herrscht. Wir nehmen an, daß sich in diesem Beispiel die Geschwindigkeiten addieren.
  2) Angenommen, die benötigte Zeit mit Gegen- bzw Rückenwind wird gemessen. Wie wäre die benötigte Zeit ohne Wind.
• + Schaue im Internet ein Video zum Dschanibekow-Effekt ohne Erklärung (z.B. z.B. hier bis 2:07 ). Ist hier der Drehimpulserhaltungssatz verletzt?
• + Untersuche, ob L^* (siehe S.87 unten im Skript) eine Lagrengefunktion ist.
• + Wenn Max die Rolltreppe hinaufgeht, zählt er 15 Stufen. Wenn er die Rolltreppe gegen die Fahrtrichtung hinabsteigt, sind es 35 Stufen. Wieviel (sichtbare) Stufen hat die Rolltreppe, wenn sie steht? (15.1.2 im Skript)
  Siehe hierzu auch die Lösungen der Gegenwindaufgabe (15.1.1 im Skript)
• Eine spezielle Sattelfunktion. (Im Skript bei den Aufgaben 15.3.3)
  (Sehr schwere Aufgabe)
• Eine Verallgemeinerung der Jensenschen Ungleichung. (Im Skript bei den Aufgaben 15.3.4)
  
(Ziemlich schwere Aufgabe)
• + Löse das "2 Töpfe und 1 Schlauch"-Gleichungssystem (siehe 15.2.2).
• + Vergleiche für eine einfache Aufgabe (radioaktiver Zerfall) die numerischen Verfahren Euler-vorwärts und Euler-rückwärts. Warum wird für solche Aufgaben die "unphysikalische" Methode Euler-rückwärts verwendet?
• + Berechne eine Legendretransformation (Im Skript bei den Aufgaben 15.3.2)
• + Ein Basketballer trainiert Korbwürfe und ermittelt nach jedem Wurf seine Trefferquote (Treffer geteilt durch Gesamtwurfzahl in Prozent). Zu einem Zeitpunkt ist die Trefferquote etwa 85%. Nach weiterem Training ist die Trefferquote etwa 93%. Beweise, daß es einen Zeitpunkt gab, bei dem die Trefferquote exakt 90% betrug und den Zusatz (siehe 15.1.3)
• + Beweise die Chebyshev-Ungleichung (siehe 15.3.1)
• + Beweise die Identität in 15.2.1.
----------------------------- Neue Aufgaben -------------------------------------------------
• Im Inneren eines Winkels mit gebenen Schenkeln seien zwei Punkte gegeben. Finde den kürzeste Weg von einem Punkt zum anderen derart, daß jeder der beiden Schenkel genau einmal berühert wird.
• Finde den kürzeste Weg in einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck, der alle drei Seiten genau einmal berühert. Oder mit anderen Worten: Suche in einem Dreieck mit innen spiegelnden Wänden einen geschlossenen Lichtweg, der an jeder Dreiecksseite einmal reflektiert wird.

Themen in der Vorlesung:

• Stationäre Aufgaben in vier Banachräumen
• Sattelprobleme
• Lagrangemethode (bedingte Extrema)
• Spieltheorie
• lineare Optimierung
• Klassische Dynamik
  • Newtonsche Gleichung
  • Lagrangemechanik (Dualität von Freiheit und Zwang)
  • Hamiltongleichung (Dualität extensiver und intensiver Größen)
  • Hamilton-Jacobi-Gleichung (Dualität von Welle und Teilchen)
• Harmonische Analysis

Sinnvoll sind rudimentäre Kenntnisse in:

• Klassischer Physik
• konvexer Analysis
• Theorie gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen

Empfohlene Literatur:

• Ivar Ekeland und Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems !!!
• Martin Brokate; Konvexe Analysis

• Hansjörg Kielhöfer; Variationsrechnung

• Wolfgang Nolting; Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik (Springer-Lehrbuch)
• Clemens Schaefer und Max Päsler; Einführung in die theoretische Physik I. Band Mechanik
• Wladimir Igorewitsch Arnold; Mathematische Methoden der klassischen Mechanik !!!
  Wladimir Igorewitsch Arnold; Mathematical Methods of Classical Mechanics !!!