Vorlesung Regularisierung schlecht gestellter Probleme

Inhalt der Vorlesung

Viele Probleme im Bereich des Ingenieurwissenschaften sind schlecht gestellt. Dies bedeutet, dass kleine Änderungen in den Daten grosse Änderungen bei der Lösung des Problems bewirken können. Das prototypische Beispiel hierfür ist die numerische Differentiation, aber auch viele andere, sogenannte inverse Probleme haben diese Eigenschaft.

Seit den 60ger Jahren des 20ten Jahrhunderts ist die Theorie zur Stabilisierung bei der Lösung solcher Probleme systematisch entwickelt worden. In der Vorlesung wird diese Theorie aus heutiger Sicht vorgestellt. Folgende Themen stehen im Vordergrund.

  1. Die numerische Differentiation als einführendes Beispiel
  2. Lineare inverse Probleme im Hilbertraum
  3. Regularisierung der Moore-Penrose Inversen durch 1-Parameterfamilien
  4. Glattheitsbegriff bei inversen Problemen
  5. Wahl des Regularisierungsparameters
  6. Regularisierung durch Diskretisierung
Nach Abschluss der Vorlesung sollten die Hörer in der Lage sein, bei gegebenen Problemen zu erkennen, ob es sich um ein gut gestelltes oder schlecht gestelltes handelt. Strategien zur Behandlung von schlecht gestellten Problemen sollten verfügbar sein.

Die Vorlesung ist an der Schnittstelle zwischen reiner und angewandter Mathematik. Nach erfolgreichem Absolvieren der Vorlesung besteht die Möglichkeit ein Thema zur Master-Arbeit zu bekommen.

Literatur

Es gibt zu diesem Thema wenig deutschsprachige Literatur. Nennenswert ist das Lehrbuch

Andreas Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen, Vieweg, 2003.

Standardwerke zu diesem Thema sind

Engl, H., Hanke, M and Neubauer, A., Regularization of Inverse Problems , Springer, 1996,

sowie

C. Groetsch, Inverse Problems in the Mathematical Sciences , Vieweg, 1993.

Voraussetzungen

Erwartet werden Kenntnisse der Hilbertraumtheorie (Funktionalanalysis oder Höhere Analysis). Kenntnisse der Diskretisierung linearer Gleichungen (Galerkin-Verfahren) erleichtern das Verständnis des letzten Abschnitts.
Bei Bedarf nach weiteren Informationen bin ich unter meiner e-mail am Weierstrass Institut zu erreichen.