Stabilisierung von Konvektions-Diffusions-Gleichungen durch Residuenminimierung in L^1

Die Finite-Elemente-Approximation konvektions-dominanter Konvektions-Diffusions-Gleichungen besitzt im allgemeinen unphysikalische Oszillationen in Regionen, in denen die Lösung einen grossen Gradienten besitzt. In der Literatur gibt es eine Reihe von Vorschlägen, diese Oszillationen zu unterdrücken, siehe die Übersichtsarbeit John, Knobloch (2005). Keiner der bisherigen Vorschläge scheint jedoch das Problem der Oszillationen entgültig lösen zu können.

Guermond schlägt in einer Arbeit von 2004 vor, die Finite-Elemente-Lösung mittels der Minimierung des Residuums in L^1 zu berechnen. Erste Ergebnisse sehen viel versprechend aus. Die Schwierigkeit dieser Herangehensweise besteht darin, dass man im allgemeinen keine Differenzierbarkeit der L^1-Norm hat und damit keine notwendige Bedingung für ein Minimum, siehe beispielsweise die Funktion |x|.

Im Rahmen der Diplomarbeit soll ein Algorithmus aus der Arbeit von Guermond zur L^1-Minimierung in das Programm MooNMD implementiert und verbessert werden. Die berechneten Ergebnisse sollen mit Ergebnissen anderer Herangehensweisen verglichen werden, die bereits in MooNMD implementiert sind. Ein Überblick über analytische Ergebnisse zur L^1-Minimierung soll erstellt werden und der Zusammenhang mit der l^1-Minimierung für Gleichungssysteme. Der Schwerpunkt der Diplomarbeit liegt bei der Implementierung von Verfahren und der kritischen Evaluierung numerischer Simulationen.