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Bearbeiter: G. N. Milstein
Kooperation: M. V. Tretjakov (Ural State University, Ekaterinburg, Forschungstipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung)
Förderung: Alexander von Humboldt-Stiftung
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Es gibt erst relativ wenige Arbeiten, die die numerischen Aspekte stochastischer Verfahren für deterministische oder stochastische nichtlineare partielle Differentialgleichungen behandeln. Entscheidend ist hierbei der Mangel an einer geeigneten probabilistischen Darstellung der Lösungen für solche Gleichungen. Jedoch besteht zweifellos Bedarf zur Entwicklung stochastischer numerischer Methoden für solche Problemklassen.
In den Arbeiten [1], [2] und in dem Vortrag [3] wird eine neue Klasse der Schichtenmethode für nichtlineare parabolische partielle Differentialgleichungen und reaction-diffusion Systeme vorgeschlagen. Diese Methoden werten Ideen der schwachen Approximation von stochastischen Differentialgleichungen aus. Obwohl sie probabilistischer Natur sind, sind die in [1-3] vorgeschlagenen Algorithmen deterministisch.
Eine größere Anzahl numerischer Experimente für Explosionslösungen nichtlinearer Gleichungen, für Stoßwellen der Bürgers-Gleichung, für die Wellenausbreitung der verallgemeinerten Kolmogoroff-Petrovskii-Piskunoff-Gleichung mit einem kleinen Parameter bestätigt die Effektivität der entwickelten Methoden.
Das Phänomen ,,Stochastische Resonanz`` entsteht als Ergebnis des Zusammenspiels zwischen Rauschen und periodischen Kräften in bistabilen Systemen. In Systemen von SDG, die mit stochastischer Resonanz verbunden sind, erscheinen oft reguläre Oszillationen. In [4] werden neue mathematische Charakteristiken der Regularität dieser Oszillationen eingeführt. Diese Charakteristiken sind extrem abhängig von der Intensität des Rauschens, von der Amplitude und von der Frequenz der periodischen Kräfte. Man kann sie für die Erforschung der regulären Oszillationen in monostabilen Systemen, in Systemen mit multiplikativem Rauschen und so weiter benutzen.
Über die Stabilität von Gleichgewichtszuständen unter zufälligen Störungen wurden zahlreiche Arbeiten veröffentlicht. Wichtige Ergebnisse auf diesem Gebiet sind mit Konzeptionen von Lyapunov-Exponenten, Lyapunov-Momentexponenten, großen Abweichungen und dem Index der Stabilität verbunden. In [6] werden diese Konzeptionen auf die Orbitalstabilität übertragen.
Die Arbeit [7] ist eine Untersuchung von Gesetzen der Bewegung auf Gleitflächen für sowohl deterministische als auch stochastische Systeme. Die Probleme der Arbeiten [4-7] gehören zur nichtlinearen stochastischen Dynamik.
Projektliteratur:
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