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Förderung: BMBF
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Bei der numerischen Simulation wissenschaftlicher und technischer Vorgänge, die mathematisch durch Systeme partieller Differentialgleichungen bzw. durch Systeme von Algebro-Differentialgleichungen beschrieben werden, sind viele lineare Gleichungssysteme mit schwachbesetzten Koeffizientenmatrizen zu lösen. Die Struktur der linearen Systeme bleibt zusätzlich während der Simulation erhalten. Lineare Systeme, die bei der Diskretisierung von Algebro-Differentialgleichungen entstehen, haben im allgemeinen Matrizen, die keine Struktureigenschaften besitzen, weshalb mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gearbeitet wird und Sparse-Matrix-Techniken verwendet werden. Für die numerische Stabilität ist eine geeignete Pivotreihenfolge zu bestimmen. Im Gegensatz zu den Systemen mit vollbesetzten Matrizen, wo die numerische Komplexität der Verfahren immer O(n3) ist, kann bei Systemen mit schwachbesetzten Matrizen durch eine günstige Pivotreihenfolge, die auch das Fill-in minimiert, die Komplexität dramatisch verringert werden [2]. Hierzu ist in jedem Schritt mit einem heuristischen Verfahren die Pivotspalte zu bestimmen. Es gelang, ein Verfahren zu finden, das statt bisher mit einer quadratischen Komplexität nun mit einer linearen Komplexität arbeitet. Die Rechenzeit für die erste Faktorisierung konnte dadurch entscheidend reduziert werden. Auf einem DEC AlphaServer (Prozessor 21164A mit 400 MHz) wurden die in Tabelle 1 gezeigten CPU-Zeiten (in Sekunden) gefunden [1]. Mit |A| wird die Anzahl der Nichtnullelemente bezeichnet.
| Matrix | n | |A| | bisher | neu |
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bayer01 | 57 735 | 277 774 | 34.92 | 2.35 |
| bayer02 | 13 935 | 63 679 | 2.20 | 0.55 |
| bayer03 | 6 747 | 56 196 | 0.67 | 0.30 |
| bayer04 | 20 545 | 159 082 | 5.18 | 1.82 |
Projektliteratur:
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