Adaptive Verfahren für Transportprozesse in porösen

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Adaptive Verfahren für Transportprozesse in porösen Medien

Bearbeiter: J. Fuhrmann , M. Petzoldt

Kooperation: H. J. Diersch (WASY GmbH, Berlin)

Förderung: BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit: Viele Transportprozesse in porösen Medien lassen sich mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen der Art

$\begin{displaymath} \partial_t b(x,u) - \nabla\cdot (k(x,u) \nabla u + \mbox{\bf q}(x,u)) =f\end{displaymath}$

beschreiben. Bei der numerischen Behandlung dieser Verfahren müssen Phänomene wie stark variierende ortsabhängige Koeffizienten, Konvektion und Nichtlinearität beachtet werden.

Ziel des Projektes ist die Weiterentwicklung von adaptiven Algorithmen und Fehlerschätzern für solche Probleme. Es soll eine praxisrelevante, robust behandelbare Unterklasse gefunden und innerhalb des Systems FEFLOW der WASY GmbH implementiert werden. Basis dafür sind aus der Literatur bekannte Fehlerschätzer sowie die Toolbox pdelib mit adaptiven Kernen aus KASKADE bzw. ALBERT . Im Berichtszeitraum wurden ausführliche Untersuchungen zu linearen Diffusionsproblemen mit örtlich variablen Koeffizienten

$\begin{displaymath} \partial_t u - \nabla\cdot k(x) \nabla u =0\end{displaymath}$

auf der Grundlage theoretischer Überlegungen und numerischer Experimente vorgenommen. Das Hauptproblem besteht dabei im Verlust der H²-Regularität, die bei den meisten Untersuchungen in der Literatur vorausgesetzt wird. Wir konzentrierten uns auf Fehlerschätzer, die für eine Erweiterung auf unstetige Diffusionskoeffizienten vielversprechend erschienen. Das waren im wesentlichen residuenbasierte Fehlerschätzer [1-3]. Unter gewissen Bedingungen können klassische Fehlerschätzer auf Probleme mit unstetigen Diffusionskoeffizienten theoretisch fundiert erweitert werden.

Die von Verfürth vorgeschlagenen Fehlerschätzer erlaubten weiterhin eine Erweiterung auf Diffusions-Konvektions-Reaktions-Probleme. Der reaktive Term kann durch einen bei der Zeitdiskretisierung entstehenden Term ersetzt werden. Diese Technik ermöglicht somit Fehlerschätzer für transiente Probleme.

Die Fehlerschätzer wurden in Testproblemen mit bekannter exakter Lösung getestet. Sie erwiesen sich in diesem Zusammenhang als zuverlässig und robust. Das heißt, daß das Verhältnis vom geschätzten Fehler zum tatsächlichen Fehler 1 bis 4 beträgt, unabhängig vom Verhältnis der Diffusionskoeffizienten und der Größe des reaktiven Terms. Jedoch wurde auch sichtbar, daß bei transienten Problemen zusätzliche Fehler auftreten, die auch mit im Fehlerschätzer berücksichtigt werden müssen.

**Abb. 1:** Lokale Verfeinerung bei springenden Diffusionskoeffizienten
$\ProjektEPSbildNocap {0.5\textwidth}{num00010.eps}$

Projektliteratur:

F. BORNEMANN, B. ERDMANN, R. KORNHUBER, A posteriori error estimates for elliptic problems in two and three space dimensions, SIAM J. Numer. Anal., 33 (1996), pp. 1188-1204.
R. VERFÜRTH, A posteriori error estimators for convection-diffusion equations, Numer. Math., 80 (1998), pp. 641-663.
$\dito$ , A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh refinement techniques, in: Advances in Numerical Mathematics (H. G. Bock, W. Hackbusch, M. Luskin, R. Rannacher, Hrsg.), Wiley Teubner, Stuttgart Leipzig, 1996, pp. 1-126.