Modellreduktion mittels erweiterter Quasi-Steady-State-Approximation

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Modellreduktion mittels erweiterter Quasi-Steady-State-Approximation

Bearbeiter: K. R. Schneider

Kooperation: Th. Wilhelm (Universität Augsburg)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Wir betrachten Mehrskalenprozesse, die durch die folgende Klasse von singulär gestörten Differentialgleichungen beschrieben werden:

$\begin{displaymath} \frac{dx}{dt} = f(x,y,t,\varepsilon ), \ \varepsilon \frac{dy}{dt} = g(x,y) + \varepsilon \tilde{g} (x,y,t,\varepsilon),\end{displaymath}$ (7)

$x \in R^m , \ y \in R^n , \ 0 < \varepsilon \ll 1$ .

Unter der Voraussetzung, daß das assoziierte System

$\begin{displaymath} \frac{dy}{d\tau} = g(x,y)\end{displaymath}$ (8)

eine Familie $y=\psi_0 (x)$ hyperbolischer Gleichgewichtslösungen besitzt, existiert eine invariante Mannigfaltigkeit ${\cal{M}}_\varepsilon$

$\begin{displaymath} {\cal{M}}_\varepsilon := \{ (x,y,t) \in R^{m+n+1} : y = \psi... ...on \psi_1 (x,t) + O (\varepsilon^2 ), \ x \in R^n, \ t \in R \}\end{displaymath}$ (9)

von (1) für hinreichend kleines $\varepsilon$ , so daß das Verhalten der Lösungen von (1) in der Nähe von ${\cal{M}}_\varepsilon$ durch das dimensionsreduzierte System

$\begin{displaymath} \frac{dx}{dt} = f(x,\psi (x,t,\varepsilon),t,\varepsilon) \end{displaymath}$

beschrieben werden kann. Dieses Resultat rechtfertigt die sogenannte Quasistationaritätsannahme (QSSA), die besagt, daß unter der Voraussetzung, daß $y=\psi_0 (x)$ eine Familie stabiler hyperbolischer Gleichgewichtspunkte von (2) darstellt, das qualitative Verhalten von (1) für kleine $\varepsilon$ nahe ${\cal{M}}_0$ unter Verwendung des reduzierten Systems

$\begin{displaymath} \frac{dx}{dt} = f(x,\psi_0 (x),t,0)\end{displaymath}$

bestimmt werden kann.

Das gemeinsame Forschungsprojekt hatte das Ziel, Bedingungen abzuleiten, unter denen die QSSA auch dann angewendet werden kann, wenn das assoziierte System keine hyperbolischen Gleichgewichtspunkte besitzt. Es wurden folgende Resultate erhalten:

1.: Die QSSA kann auf singuläre singulär gestörte Systeme erweitert werden, deren zugehöriges assoziiertes System ein erstes Integral besitzt, das für eine Koordinatentransformation verwendet werden kann. Das zugrundeliegende Prinzip besteht dabei darin, unter Verwendung des ersten Integrals neue Koordinaten einzuführen, mit denen die ,,kritischen`` schnellen Variablen eliminiert werden, so daß auf das transformierte System die QSSA angewendet werden kann. Als Anwendungsbeispiel konnten biochemisch relevante Reaktionssysteme angegeben werden, deren zugehöriges assoziiertes System ein nichtlineares erstes Integral besitzt.
2.: Eine weitere Verallgemeinerung der ,,einfachen`` QSSA besteht darin, bei der Dimensionsreduktion Terme höherer Ordnung in der Darstellung (3) der invarianten Mannigfaltigkeit ${\cal{M}}_\varepsilon$ zu verwenden.

Eine interessante Anwendung der dargelegten Verallgemeinerungen besteht darin, daß gezeigt werden kann, daß der trimolekulare Autokatalator

$\begin{eqnarray} \mbox{S} & \rightarrow{} & \mbox{X}\nonumber\ \mbox{X}+2 \mbox... ...rrow} & 3 \mbox{Y} \ \mbox{Y}& \rightarrow{} & \mbox{P},\nonumber\end{eqnarray}$

der auch als Higgins-Selkov-, Schnakenberg- oder Gray-Scott-System bekannt ist und dieselbe trimolekulare Reaktion wie der Brüsselator enthält, durch das bimolekulare Reaktionssystem

$\begin{eqnarray} \mbox{S}&\rightarrow{}&\mbox{X}\nonumber\ 2 \mbox{Y}& \mathrel... ...x{Y}+\mbox{Z}\nonumber\ \mbox{Y}&\rightarrow{}&\mbox{P},\nonumber\end{eqnarray}$

mit einer schnellen Teilreaktion $(k_{-1} \gg 1)$ approximiert werden kann.

Projektliteratur:

K. R. SCHNEIDER, TH. WILHELM, Model reduction by extended quasi-steady-state approximation, WIAS-Preprint No. 457 , 1998.