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Stochastische Teilchensysteme und Approximation der Boltzmann-Gleichung

Bearbeiter: W. Wagner 

Kooperation: S. Rjasanow (Universität des Saarlandes, Saarbrücken), S. Caprino (Università di Roma ,,Tor Vergata``), M. Pulvirenti (Università di Roma ,,La Sapienza``)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In wichtigen Anwendungsbereichen wie Raumfahrt, Vakuumtechnologie oder Aerosoldynamik erfolgt die mathematische Beschreibung der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse mittels hochdimensionaler und in der Regel nichtlinearer Integrodifferentialgleichungen. Ein typisches Beispiel einer solchen Gleichung, die Boltzmann-Gleichung aus der kinetischen Gastheorie, besitzt die Form

mit

Hier beschreibt die Funktion die Konzentration von Teilchen mit der Geschwindigkeit v am Ort x zur Zeit Die Gleichung (1) besitzt eine quadratische Nichtlinearität, die sich aus der paarweisen elementaren Wechselwirkung ergibt. Diese besteht darin, daß bei der ,,Kollision`` zweier Teilchen sich ihre Geschwindigkeiten entsprechend (2) ändern, wobei die Einheitssphäre ist und B der Kollisionskern genannt wird.

Auf Grund der hohen Dimension (f ist eine Funktion von 7 Veränderlichen) spielen stochastische Teilchensysteme nicht nur bei der theoretischen Fundierung sondern insbesondere bei der numerischen Behandlung der Gleichung (1) eine entscheidende Rolle. Stochastische Partikelverfahren beruhen auf der Modellierung eines geeigneten großen Systems von Simulationsteilchen

mit deren Hilfe das Verhalten des realen Gases approximiert wird. Hier bezeichnen und jeweils die Position und die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens zur Zeit

Die Forschungsarbeit läßt sich inhaltlich in die folgenden beiden Richtungen unterteilen:

1. Untersuchung des asymptotischen Verhaltens () stochastischer Teilchensysteme (3) vom Boltzmann-Typ (unabhängige Bewegung und paarweise Wechselwirkung);

2. Entwicklung und Testung stochastischer Partikelverfahren zur numerischen Behandlung der Boltzmann-Gleichung (1).

Eine wichtige Frage im Zusammenhang mit der praktischen Anwendbarkeit von stochastischen Teilchensystemen (3) besteht in der Untersuchung des Konvergenzverhaltens bei wachsender Teilchenzahl In den vergangenen Jahren wurden hierbei für den Fall eines fixierten endlichen Zeitintervalls wichtige Ergebnisse erzielt (siehe [1]). Gegenwärtig steht die Untersuchung des stationären Falls () im Mittelpunkt des Interesses. In der Arbeit [2] konnte dazu ein erstes wesentliches Ergebnis erzielt werden. Es gelang, die Ordnung des Fehlers bei der Approximation der stationären Lösung der Gleichung (1) durch ein stochastisches Teilchensystem (3) zu bestimmen. Das Ergebnis besagt

wobei die Marginaldichte der stationären Verteilung des Teilchensystems und g die stationäre Lösung der Boltzmann-Gleichung ist.

Bei der numerischen Behandlung kinetischer Gleichungen mittels stochastischer Partikelverfahren treten stochastische Fluktuationen auf, d. h. die zu berechnenden Werte werden durch zufällige Schwankungen überlagert. Deshalb besteht in vielen Anwendungsbereichen, wie z. B. bei der Berechnung makroskopischer Größen hinter einem umströmten Körper, ein wichtiges Problem in der Konstruktion von Verfahren mit reduzierten Fluktuationen. Für die Boltzmann-Gleichung (1) wurde in den Arbeiten [3], [4] ein neuer Zugang zu diesem Problem der Varianzreduktion entwickelt. Er basiert auf der Benutzung eines Systems von Teilchen mit variablen Gewichten, welches eine künstliche Steuerung des Teilchenstromes ermöglicht. In [5], [6] wurde (zunächst am Beispiel einer Modellgleichung) gezeigt, daß der Anteil von Teilchen in einem vorgegebenen Bereich des Geschwindigkeitsraumes künstlich erhöht werden kann, ohne dadurch die Konvergenzeigenschaften der makroskopischen Größen zu beeinträchtigen. Dadurch wurde eine wichtige Voraussetzung zur Behandlung des Varianzreduktionsproblems im räumlich inhomogenen Fall geschaffen.

Projektliteratur:

  1. W. WAGNER, A functional law of large numbers for Boltzmann type stochastic particle systems, Stochastic Anal. Appl., 14 (1996), pp. 591--636.
  2. S. CAPRINO, M. PULVIRENTI, W. WAGNER, Stationary particle systems approximating stationary solutions to the Boltzmann equation, WIAS-Preprint No. 264, Berlin 1996.
  3. S. RJASANOW, W. WAGNER, A stochastic weighted particle method for the Boltzmann equation, J. Comput. Phys., 124 (1996), pp. 243--253.
  4. S. RJASANOW, W. WAGNER, Stochastic systems of weighted particles approximating the spatially inhomogeneous Boltzmann equation, Z. Angew. Math. Mech., 76 (1996), pp. 215--218.
  5. S. RJASANOW, W. WAGNER, Numerical study of a stochastic weighted particle method for a model kinetic equation, J. Comput. Phys., 128 (1996), pp. 351--362.
  6. S. RJASANOW, W. WAGNER, Stochastic interacting particle systems as a numerical tool, WIAS-Preprint No. 278, Berlin 1996.



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Mon Feb 17 13:38:21 MET 1997