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Diskretisierung nichtuniform hyperbolischer Systeme mit Singularitäten

Bearbeiter: J. Schmeling, R. Siegmund--Schultze

Kooperation: T. Krüger (Universität Bielefeld)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Unterschiede zwischen dem Ablauf eines Prozesses und seiner numerischen Simulation können bei sensibel reagierenden Systemen so gravierend werden, daß sich eine gewählte Numerik als irreführend erweisen kann. Damit liegt ein Problem von gro praktischer Bedeutung vor, dessen theoretische Behandlung sich in letzter Zeit vor allem auf die Diskretisierung uniform hyperbolischer Systeme bezog. Dagegen steht das Studium von nichtuniform hyperbolischen Systemen noch am Anfang, obwohl sich hier qualitativ neue Gründe für das Abweichen der numerisch berechneten Orbits (d.h. der Orbits eines diskreten Modells) von der ursprünglichen Dynamik ergeben. Diese Problematik in höherdimensionalen Modellen zu klären, scheint zur Zeit noch wenig aussichtsreich, so daß tieferliegende Erkenntnisse auch in speziellen Fällen Interesse verdienen. Daher beschränkt sich das Projekt auf die einparametrige Familie modulo 1, das bereits eine Komplexität besitzt, die zu interessanten Fragen führt. Insbesondere lä für die meisten keine endliche Markovzerlegung zu, die im hyperbolischen Fall ein entscheidendes Hilfsmittel darstellt. Das betrachtete Diskretisierungsmodell ist durch die Abbildung ganzer Teil mod N gegeben. Es stellt sich heraus, daß im Mittel nur ein periodischer Orbit einer vorgegebenen Periode exakt verfolgt werden kann. Die Problematik bei der Asymptotic der beiden Systeme spiegelt sich auch darin wider, daß das System das gesamte Intervall zum Attraktor hat, während der Anteil des Attraktors im N-punktigen Phasenraum von für sehr viele Diskretisierungsstufen kleiner als eine beliebig vorgegebene Zahl wird. Oft wird die Grö des Attraktors betragen. Die Familie wurde insbesondere auch bezüglich der bei Variation von auftretenden Bifurkationen untersucht.

Die Analyse dieser Phänomene benutzt Methoden aus der symbolischen Dynamik, der Kodierungstheorie, der Theorie der Gleichverteilungen, der stochastischen Prozesse und der Zahlentheorie.



BREMERO
Wed Apr 12 21:47:02 MDT 1995